2016 Fiscal Year Annual Research Report
Applications of the concentration of measure phenomenon to analysis and geometry of Laplacian
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25800042
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
船野 敬 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (40614144)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Laplacianの固有値 / Neumann条件 / ham sandwichの定理 / 普遍不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Laplacianの固有値に関する性質で領域単調性・非単調性の性質を考察した. またLaplacianの固有値の間の普遍不等式に関する研究を行った. Euclid空間内の二つの(区分的に滑らかな境界を持つ)領域に対して, Dirchlet境界条件下でのLaplacianの固有値(Dirichlet固有値)に対しては領域単調性が, Neumann境界条件下でのLaplacianの固有値(Neumann固有値)に対しては制限的領域非単調性が知られていた. またNeumann固有値に関しては領域単調性が成り立たない例が知られている. 今回の研究では考える領域を凸領域に制限してNeumann固有値に関して, 定数倍込みで領域単調性・非単調性の性質を得た. また同時に凸領域のLaplacianのNeumann固有値の間の非自明な普遍不等式も得た. 証明には前年度私によって得られていた任意有限個の部分集合の情報によってLaplacianのNeumann固有値を上から評価する結果並びに(本質的に)Gromovによる領域の分割が与えられたときのその分割の各部分領域のCheeger等周定数による元の領域のLaplacianのNeumann固有値に関する下からの評価を用いている. Gromovによる結果は私がGromovの本に書いてあることを少し一般化したものである、また書いた当初は確かめられていなかった（と思われる）Laplacianの固有関数の性質に関する部分も確かめた。Gromovの方法は代数的位相幾何学における結果のham sandwich定理を用いるものであり, また私の昨年度に得られていた結果は最適輸送理論を用いるものであり, これら二つの一見無関係な理論を用いてLaplacianの固有値に関する結果を得たのは十分に意義があると思われる.
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