2013 Fiscal Year Research-status Report
ワイエルストラス型表現公式をもつ曲面の大域的性質と特異点の研究
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25800047
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
藤森 祥一 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (00452706)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 極小曲面 / 平均曲率0曲面 / ワイエルストラス型表現公式 / 特異点 |
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| Research Abstract |
ワイエルストラス型表現公式をもつ曲面の大域的性質と特異点に関する研究を行った。具体的には以下の4つの研究を行った。
江尻典雄氏、庄田敏宏氏との共同研究で、3次元Euclid空間内の3重周期的極小曲面のモデュライ空間とその極限に関する研究を行った。特にRodriguezの標準例と呼ばれる2重周期的極小曲面がMeeks族と呼ばれる3重周期的極小曲面の族の極限として得られることを考察し、3重周期的極小曲面から2重周期的、単周期的極小曲面へと退化する具体例を構成した。
Young Wook Kim氏、Sung-Eun Koh氏、Wayne Rossman氏、Heayong Shin氏、梅原雅顕氏、山田光太郎氏、Seong-Deog Yang氏との共同研究で、3次元Lorentz-Minkowski空間内の平均曲率0曲面に関する研究を行った。零的直線を境界として空間的曲面から時間的曲面に型変化する平均曲率0曲面の存在を証明した。また、平均曲率0曲面と2次元流体力学との興味深い関連についても考察を行った。
川上裕氏、國分雅敏氏、Wayne Rossman氏、梅原雅顕氏、山田光太郎氏との共同研究で、3次元de Sitter空間内の空間的平均曲率1曲面の無限遠方における振る舞いを調べた。特に双曲型エンドと呼ばれるエンドの挙動を解析した。本研究は現在も継続中である。
野呂正行氏、佐治健太郎氏、佐々木武氏、吉田正章氏との共同研究で、Gaussの超幾何微分方程式のde Sitter Schwarz写像に関する研究を行った。de Sitter Schwarz写像は佐々木氏、吉田氏を中心に研究されている双曲Schwarz写像の双対にあたるものであり、3次元de Sitter空間内の（特異点付きの）空間的平坦曲面と見なすことができる。この区間的平坦曲面の特異点および平行曲面の焦面に関する研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元Lorentz-Minkowski空間内の平均曲率0曲面に関する研究は、型変化のメカニズムが解明され、多くの具体例や流体力学との関連等が分かってきたため、当初の計画以上に進展している。しかし、3次元de Sitter空間内の空間的平均曲率1曲面の双曲型エンドについてはまだ決定的な結果は得られていない。その他の研究はおおむね順調に進展している。以上のことから総合的に判断すると、研究はおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
3次元Euclid空間内の3重周期的極小曲面に関する研究は、Meeks族に含まれない曲面の族に注目する。このような族の極限としてどのような周期的（あるいは周期的でない）曲面が得られるかを調べる。
3次元Lorentz-Minkowski空間内の平均曲率0曲面に関する研究は、曲面の完備性や自己交叉性について研究を行う。最初は具体例の計算から入り、一般論の構築を目指す。
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