2013 Fiscal Year Research-status Report
Project/Area Number |
25800049
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Research Category |
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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Research Institution | Kyushu University |
Principal Investigator |
野坂 武史 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教 (00646903)
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Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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Keywords | 数学 / 幾何学 / トポロジー / 結び目 / カンドル |
Research Abstract |
平成26年度の主要な結果を二つ述べる。 まずK2 群に値を持つ、結び目の不変量を構成した事である。正確には、任意の無限体Fに対し, 結び目のSL 2 (F )-放物表現に関し, Milnor-Witt K2 群への値を構成した. まず筆者はカンドル理論を用いる事で当不変量の非自明な例が無数に存在することを証明した. そして実際, K2 群に関する数論の結果を用いる事で、非自明な値をもつ結び目表現を多く例示できた. そして本研究から二つ応用を与えた. つまり一つ目に, 放物表現のcusp shape に関する状態和公式をえる事ができ, その成果, cusp shapeの計算を容易にした。二つ目に, 左不変順序構造を持つ3 次元多様体の基本群について新しい例示を与える事も出来た。 もう一つの主結果は、球面上(4 次元)Lefschetz 束に対し不変量を導入した事である。この不変量は、任意の写像類群の表現に対し構成可能なほど一般的で、さらに不変量の値は双線型形式にとり興味深い。この双線型形式は局所系係数カップ積により幾何的解釈もできる事も示せた。この不変量の長所として計算機により計算可能であるため、今まで未分類であったLefschetz 束の無限の組を見分ける事ができ、Lefschetz 束と微分構造の差が大きい事を示す具体的例示であった。また一方で、その不変量は位相的な基本的な量を包摂する事も示せた。つまり、最も基本的な表現であるシンプレクティック表現に対し、有理係数ベッチ数や符号数を全て含む事を示した。特に、(比較的簡単な)Lefschetz 束の符号数を(計算機で比較的容易に)計算出来るようになった。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
前欄の二項目に対し、其々の達成度を陳述する。 まず、筆者が導入したK2 群の結び目不変量の構成は十分なものと考えている。実際、その構成は初めて事であり、条件も少ない仮定の基での自然な構成である。そしてこの不変量を計算する上で数論的な結果(例えばミルナーK群や付置の理論の結果を用いる)を用いる必要がある為、この不変量の高尚さを示せた。また一方で、K2群の議論において、カンドル理論の有用性を例示する事が出来たのも成果の一つである。しかし未達成な点も幾つかあり、例えば、我々の不変量の幾何的解釈がまだ不明瞭である点や、計算が数論に依存し容易でない点があげられる (しかし, A^1ホモトピー理論の観点から幾何的意味は期待できる)。加えて、左不変順序構造に関する適用範囲を広げ、新しい例示を提起する課題もある。 他方、球面上(4 次元)Lefschetz 束に関する不変量は、一定の評価があったと聞いている。実際、この結果を基に日本数学会のトポロジー分科会の特別講演を招待して頂いた。さらにこの不変量は汎用性が広く、任意の群に対するフルビッツ同値類の不変量を与える事が出来た(任意の群まで拡張できたのは計画の想定以上であった)。例えばLefschetz 束のみならず、曲面ブレイド、(特殊な)曲面分岐被覆などの不変量も並行し構成できる。また、先述のシンプレクティック表現に関する結果により、筆者の不変量が正統的なトポロジー研究に位置づく事を強調できたと考える。それ故、次欄のテーマである「量子表現への拡張」を比肩すると、当結果はこの不変量の研究課題が今後の研究発展につながる「良い」方針を示唆してくれた。
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Strategy for Future Research Activity |
前欄に引き続きレフシェッツ束の不変量をさらに深める研究方針を述べる。一言でいえば「量子表現を4次元的対象のレフシェッツ束に適用し、数論的な二次形式の量を取り出す事」である。そもそも量子表現とは、(リー群を任意に固定した時に)Chern-Simons作用の位相的場の理論(TQFT) が与える二次元的量だった。本研究は、そのTQFTが4次元に上がる時どの様な振舞いをするか調べる試みである。特に途中経由する3次元の量子不変量(これはよく理解された対象)がどう出現するか興味深い。3次元の量子不変量は”大槻フィルター”という順序で不変量の難しさや深さが段階的に理解されている。その既知の段階に応じ、本研究を順次進める。特に最も簡単な初段階がCasson不変量という魅力的な対象な事が知られ、その4次元的振舞いの解明は比較的容易であると考えている、というのもCasson不変量は様々な解析法が知られているからである(例えば、手術公式や写像類群による積分表示、有限型不変量など)。なお計算機が使えるため具体的に実験できる事が本研究の強みの一つである。 ところで、計画書で筆者は基本方針「カンドルから2次特性類を代数トポロジー的な議論により抽出する」を掲げた。これも着々と進めているが、前段落の研究方針と比較すると、(形式的量子化の様な)パラメータ付きの特性類を扱う事がよいであろう。具体的には、摂動的Chern-Simons理論のアイディアを用いれば可能であろうと考えている。ここでカンドルを扱う利点を述べる。一般に或る量子化を考える際は、座標の取り方というのが重要になるが、カンドルの分類空間は四角形の貼り合せ(cubical set)で定義されるから積分や座標の取り変えが順当に進むと期待できる。実際、筆者は目星のつく座標の候補を幾つかもっており、順々に研究を進めていく計画をしている。
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Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
満額を使用する予定であったが、年末3月に必要な図書が絶版され購入を諦めたため、その差額の17,915円が残ってしまった。 先述の予定通り、他の図書を(物品費として)購入する予定である。
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Research Products
(4 results)