2013 Fiscal Year Research-status Report
高次コホモロジー群の漸近的不変量とその複素幾何学への応用
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25800051
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
松村 慎一 鹿児島大学, 理工学研究科, 助教 (90647041)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 複素幾何学 / コホモロジー / 随伴束 / 特異計量 / 乗数イデアル層 / 消滅定理 / 豊富性 / 曲率の正値性 |
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| Research Abstract |
本研究の目的は, 代数幾何の設定で自然に現れる概念(コホモロジー, 豊富性など)を, 複素幾何の立場(曲率, 正値性など)から扱う枠組みの構築であった.
今年度は, 計画通り, 直線束の冪に関するコホモロジー群の漸近的な挙動を研究した. 数値的に半正(numerically effective)な直線束に対する漸近的な消滅定理を, 特異計量と乗数イデアル層を用いて, 擬正(pseudo-effective)な直線束に一般化した. その応用として, 随伴束に対するNadel型(Kawamata-Viehweg型)の消滅定理を得た. 特に, 最小特異性を持つ計量に対してNadel型の定理を得ることができた.
この成果を公開した後に, 多重劣調和関数の乗数イデアル層についての予想が解かれ, この結果は他数学者の結果から従ってしまった. しかし, 証明の手法は全く異なり他の応用もある点から価値があると思われる. 証明のアイデアは, 単射性定理を用いて曲率が半正な直線束を扱う点と, Nadel型の消滅定理を漸近的な消滅定理に帰着する点である. そこで, 従来の単射性定理を特異計量と乗数イデアル層を用いて一般化した. その際には, 調和積分論を用いてコホモロジー類を調和形式で代表する技術が重要となる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
直線束の冪に関するコホモロジー群の漸近的な挙動の研究から, 随伴束に対するより精密な単射性定理や消滅定理に研究を広げることができた. また, その研究の過程で調和積分論などの技術を得ることができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究で得た知識や技術を活かし, 今後は消滅定理の一般化である単射性定理の研究を推し進めていきたい. 例えば, 対数的標準特異点(log canonical singularity)を許した射影多様体の単射性定理のコンパクトケーラー多様体への一般化などを試みたい.
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