2015 Fiscal Year Research-status Report
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25800054
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
楠岡 誠一郎 岡山大学, 自然科学研究科, 准教授 (20646814)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 経路依存型確率微分方程式 / 放物型偏微分方程式 / マリアヴァン解析 / 密度関数 / 基本解 / 摂動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主たる研究として、マルコフ型確率微分方程式に経路依存型の有界可測関数をドリフト項に付け加えたような経路依存型確率微分方程式の解の時刻ごとの密度関数の存在とその連続性の度合いについて研究を行った。鍵となる手法はギルサノフ変換であり、ギルサノフ変換により経路依存型確率微分方程式の解を元のマルコフ型確率微分方程式の解で表現し、その式を摂動の式とみなすことによって解析を行った。この研究で用いた摂動の式は作用素論で現れる摂動の式の確率論的表現を用いた類似となっていて、確率論的表現の利点として経路依存型ドリフト項を加えるような摂動をよく知られた摂動と同様に扱えることに着目したのがこの研究である。一般に、経路依存型確率微分方程式に対応する偏微分方程式は存在しないと考えられている。そのため、ここで扱う確率微分方程式の解の性質についての偏微分方程式論から帰着される結果はない。そこで経路依存型確率微分方程式に対しては確率論的手法で議論するしかないのであるが、これまで確率論的手法で確率微分方程式の密度関数の連続性を調べるためにはマリアヴァン解析を用いるのが主流であり、マリアヴァン解析を適用して密度関数の連続性の度合いを調べるためには全ての係数のリプシッツ連続性が必要であった。この結果は摂動の手法をとることにより、マリアヴァン解析を使うことなく、確率微分方程式の解の密度関数の連続性を調べたことに意義があると考えている。この結果は既に論文としてまとめ、現在投稿中である。
また、以前投稿していたランダム環境中のブラウン運動の挙動についての論文、及び経路依存型確率微分方程式の解の収束の速さについての論文の査読者からの助言に応じてそれぞれの論文での議論の修正や簡素化に関する研究も行った。それによりこれらの論文は学術雑誌への掲載が決まった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度主たる研究として行った経路依存型確率微分方程式の解の時刻ごとの密度関数の存在とその連続性の度合いについて研究では、これまでマリアヴァン解析を初めとする確率論的手法では扱えなかった、係数がリプシッツ連続ではないような確率微分方程式に対して、確率論的手法で解の密度関数の存在と連続性の度合いを得ることができた。これまで係数がリプシッツ連続でない場合の確率微分方程式の解の密度関数の連続性の度合いを求める際には、偏微分方程式論から得られる結果に帰着させていたが、確率論の範囲内で議論できるようになったことに意義があると考えている。また、当初は想定していなかった作用素論における摂動との関係を明確にすることができ、さらに経路依存型ドリフト項を加えるという摂動が扱えるという明確な確率論的表示を用いた場合の利点を見いだせたことも、本研究の成果であると考えている。現在のところ未だ確率論的表示の利点を用いた応用は経路依存型確率微分方程式の密度関数の存在とその連続性の度合いのみであるが、今後更なる確率論的表示の利点を用いた応用があると期待している。
また、以前投稿していたランダム環境中のブラウン運動の挙動についての論文、及び経路依存型確率微分方程式の解の収束の速さについての論文も、査読を経てより良い形で学術雑誌にて公開されることになり、これらについても計画通りに進んでいる。
以上の理由から、上のような自己評価を行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成２８年度は本研究課題の最終年度に該当するので、本研究の総括を行いたいと考えている。例えば、これまで確率解析的手法を用いて放物型偏微分方程式の解や確率微分方程式の密度関数の連続性の度合いを得てきた。これらは確率解析的手法を用いた場合の利点に注目することによって、既存の結果との違いを生み出してきた。一方、方程式の解や基本解、確率微分方程式の密度関数の連続性の度合いというのは非常に基本的な問題であり、それらの結果は多くの場面で応用されている。そこで、平成２８年度は本研究で得られた結果を応用した場合に、それまで知られていた応用先の結果と比べてどのような差が現れるのか、さらに確率解析的手法による利点がどの程度現れるのかについて研究をすることによって、一連の研究のまとめとしたいと考えている。特に、非線形の偏微分方程式への応用したときに既存の結果との差が生まれるのかどうかは重要な問題であると考えている。
また、マリアヴァン解析を用いた分布やその収束の特徴付けの研究についても、最終目標である、確率微分方程式の解の密度関数の存在性やその連続性の度合いとの関係について調べたいと考えている。特に、係数の連続性が悪い場合に駆動するブラウン運動がどのように解に影響するのかはとても興味深い問題である。近い将来にこの問題を解決することは難しいが、特別な場合を考えることによって部分的にでも解決したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
１０月１日付で岡山大学に異動したため、それ以降の出張旅費が当初の予定と異なった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２８年度も沢山の研究集会に参加し成果発表を行う予定であるため、その出張費として使用する予定である。
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