2014 Fiscal Year Research-status Report
結晶確率モデルのハミルトン力学系による導出及びそれにおける相対効果の影響
| Project/Area Number |
25800056
|
|---|
| Research Institution | University of Tsukuba |
|---|
Principal Investigator |
梁 松 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60324399)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | ノンランダム力学系 / 理想気体 / 収束 / 等速運動 / 拡散過程 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、ノンランダムな力学系を用いて結晶確率モデルを説明するために、重粒子達の挙動に相対効果がある場合について研究した。具体的には、二つの重粒子が理想気体環境に置かれ、重粒子達と理想環境を構成する軽粒子の間は、ランダム性のない相互作用によって影響し合いながら動くというモデルを考え、軽粒子達の質量が０に収束する時、重粒子達の挙動を表す確率過程の極限を研究した。
特に、重粒子が二つある場合、この二つの重粒子と軽粒子の間の相互作用が異なる種類（例えば、一つが斥力でもう一つが吸引力）であるか同じ種類であるかによって、状況が全く異なって来る。異種類であれば、上述の重粒子達の挙動を表す確率過程の極限は、ある反射壁を持つ拡散過程に収束することが証明されているが、同種類である場合、重粒子達の運動量が無限大に発散するので、重粒子達の動きに相対効果がないと、重粒子達の速度も無限大に発散する。
この困難さを克服するために、今年度は、重粒子達の動きに相対効果を導入したモデルを考えた。このモデルの下では、重粒子達の速度は常に有限である。前年度の研究で、極限過程の候補となる確率過程の具体的な形をすでに求めたので、今年度は、上述のモデルにおいて、軽粒子達の質量が０に収束するとき、重粒子達の動きを表す確率過程が確かに収束し、前年度で求めた極限過程の候補に収束することを証明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初予定として、「相対効果のある場合について、粒子系の中の重粒子達が定める確率過程の族のタイト性を証明してから、前年度で求めた確率過程への収束を証明する」ことを目標としていたが、この研究課題を予定通り解明することができた。
|
| Strategy for Future Research Activity |
当初予定通りで研究を進める予定である。
具体的には、相対効果のない場合について、対応している確率微分方程式を考え、その解の族の性質を研究。これにより、収束先の候補となる確率過程の一意性を証明し、それを実際に求める予定である。
その時、速度が無限大になり、重粒子自身を追跡することができなるなるが、ユークリッド空間上の分布として捉え、分布値確率過程として議論することになる。特に、系が一次元である場合には、総エネルギーの減衰が十分であるため、極限過程はノンランダムになると予想される。
|
