2013 Fiscal Year Research-status Report
分数冪ラプラシアンを持つ確率Burgers方程式の確率解析
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25800060
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
謝 賓 信州大学, 理学部, 准教授 (50510038)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 確率バーガー型方程式 / Levy過程 |
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| Research Abstract |
平成25年度ではLevy過程，特に対称な安定過程に関わるマルコフ半群の無限小生成作用素を持つ確率バーガー型方程式の解の一意性と存在を中心として研究を行った．
1. 確率エントロピー解の導入と一意性： 対称な安定過程に関する無限小生成作用素，つまり，分数冪ラプラシアンの指標が二分の三より大きいならば，ガウス型のノイズが加わった分数冪ラプラシアンを持つバーガー型方程式の軟解が一意的に存在することがよく知れている．しかし，その指標が二分の三以下であれば，確率バーガー型方程式に対して，軟解という概念が適当でない．このような困難を乗り越えるために，新たに解の概念，つまり，確率エントロピー解というものが導入されました．さらに，ガウス型のノイズの場合，確率エントロピー解が適当な空間において，一意性が成り立つことを証明した．Levy型のノイズを持つ確率バーガー型方程式に対しても，確率エントロピー解という概念の導入を試し，一意性を証明してみたが，未だ成功できない．
2. 確率エントロピー解の存在．ガウス型のノイズが加わった分数冪ラプラシアンを持つバーガー型方程式に対して，適当な空間において，確率エントロピー解の一意性が成り立つことが示された後に，確率エントロピー解を構成することにも取り組んだ．Splitting Methodという方法を用いて，確率エントロピー解を構成してみたが，過程の緊密性を示すのはうまくいかなかった．このように問題に取り組むために，研究集会などで，研究課題を発表し，専門家の意見を聞き取った．さらに，分数冪ラプラシアンの性質を深く理解するために，保存則をもつ偏微分方程式に関する研究集会にも出席し，情報収集を行った．解の構成を研究課題として引き続き考えたいと思う．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
確率エントロピー解を導入して，適当な空間において，このような解の一意性が成り立つことの証明を成功した．
確率エントロピー解を構成するために，Splitting Methodという方法を採用してみた．現時点，確率エントロピー解の構成が成功していないが，確定的分数冪ラプラシアンを持つバーガー型方程式と非粘性確率バーガー型方程式との成果を用いて，適当な方法で，緊密性を示すことが可能だと思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
１．Levy型のノイズを持つ確率バーガー型方程式に対して確率エントロピー解という概念が適用できるかどうかを引き続き研究する．そのため，Levy型のノイズとLevy過程の無限小生成作用素との関係を深く調べる．
２．Splitting Methodにより，ガウス型のノイズが加わった分数冪ラプラシアンを持つバーガー型方程式に関する確率エントロピー解を構成する．
３．解の正則性やStroock とVaradhan型の台の問題など研究を行う．そのために，ラプラシアンを持つ確率バーガー型方程式についての問題を徹底的に調べる．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
当初計画で見込んだよりも，安価で研究が遂行できたため，次年度使用額が生じた．
持っているパソコンの処理速度がどんどん遅くなっていると感じ，H26年度には新しいパソコンを買い替える予定をしている．専門書も買う予定です．
また，研究集会への参加および，確率偏微分方程式という分野の専門家を招聘し，情報交換を行うことを予定している．
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