2016 Fiscal Year Annual Research Report
Representation theory, random matrices, and related topics
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25800062
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
松本 詔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 確率論 / 表現論 / 組合せ論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は，ランダム行列理論とそれに関連した話題に，表現論的な見地をもって取り組むことである。表現論と密接に関連しているランダム行列モデル，例えばCOEやＣ上と呼ばれるユニタリ行列モデルにおいて，行列要素の分布の研究が，近年Weingarten calculusにより大きく発展している。このWeingarten calculusを整備・発展させ，応用に取り組むことが主な研究目的である。
本年度はかねてより共同研究を続けているBenoit Collins （京都大学）と共に，Weingarten calculusの新しい解釈を得た。すなわち，Weingarten calculusにおける表現論的な議論をある程度減らし，組合せ論的なアプローチによって多くの人に理解されやすい形で再定式化した。このようなアプローチにより，二つの大きな進展が得られた。一つはWeingarten関数の一様な評価である。Weingarten関数は，行列の大きさNと置換を変数とする有理関数として与えられる。置換を固定した時のNを十分大きくした時の挙動はよく知られていたが，置換に依らない形の一様な評価はこれまで弱い形しか知られていなかった。その評価を大きく改善することができた。この新しい評価は量子情報理論へ貢献することが期待されている。二つ目の進展は，「COEランダム行列とハール直交行列の2種類のランダム行列に対するWeingarten関数が一致する」という以前から知られていた現象の由来を，簡単に説明することができたことである。複雑な指標の計算を介して観察できていた現象が，ユニタリ性などの行列の簡単な性質で説明できるようになった。
また前年度より続けているシフトPlancherel測度の研究も進展した。ランダム分割の極限形に付随する問題がいくつか提起され，共同研究を続けている。
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