ランダムウォークの軌跡の構造について

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25800064
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 白石 大典 京都大学, 情報学研究科, 講師 (00647323)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: ランダムウォーク / ブラウン運動

Outline of Annual Research Achievements

本年度はランダムウォークのスケーリング極限にあたる、ブラウン運動の軌跡の構造に関して研究を行った。具体的にはブラウン運動の軌跡をループの集合と単純曲線に分解するということを試みた。ユークリッド空間上のブラウン運動は次元が３以下のときまたそのときに限りループを持つことが知られている。したがって上記のブラウン運動の分解の問題は３次元以下の場合にはじめて意味を持つことになる。本年度は２次元および３次元のブラウン運動に対して、その軌跡をループの集合と単純曲線に分解することに成功した。さらにそのループの集合はBrownian loop soupと呼ばれるランダムなループの集合と一致することを証明した。このようにループの集合をexplicitに与えることができたのは今後の研究に非常に有効に働くものと考えられる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度の研究により得られたブラウン運動の軌跡の分解は、ブラウン運動のループの集合が何者であるかを明確に記述する極めて有用な結果であり、それはブラウン運動の軌跡の構造を調べる上で強力な結果である。次年度はこの分解を利用してブラウン運動の軌跡のより進んだ研究を行う予定である。

Strategy for Future Research Activity

ブラウン運動のループの集合はBrownian loop soupで与えられることがわかった。今後はこのループの集合の研究を当面行っていくつもりである。例えばそれが空間内にどのように配置しているかという分布の問題がひとつの興味ある問題となる。このようなループの配置に関してより詳細な結果を与えることは、ブラウン運動の軌跡の構造の理解につながると考えられる。

Causes of Carryover

本年度に得られたブラウン運動の分解の結果を次年度においてヨーロッパならびにアメリカの該当分野専門家が所属する研究機関でセミナー発表を行うことを予定していたため、次年度使用額が生じた。具体的には、Cambridge大学、ENS、Chicago大学等で口頭発表を行う予定である。

Expenditure Plan for Carryover Budget

Cambridge大学、ENS、Chicago大学には本研究課題に関わる分野に精通した研究者が数多く存在する。そのような研究者とコンタクトを取ってセミナー日程を調整したのち、訪問してセミナー発表を行う。滞在は数週間を予定しており、セミナー発表だけではなく本研究課題に関して研究打ち合わせも行う。