2014 Fiscal Year Research-status Report
ハミルトン系に由来する確率モデルに対するスケール極限
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25800068
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
佐々田 槙子 慶應義塾大学, 理工学部, 講師 (00609042)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 流体力学極限 / 非勾配型 / スペクトルギャップ / 国際研究者交流 / アメリカ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、物理現象や社会現象などの微視的な数理モデルとして得られる確率モデルから、そのマクロな性質を導出するためのスケール極限の手法を確立することを目的としたものである。特に、非平衡状態における系のマクロな時間発展方程式を導出する流体力学極限とマクロな揺らぎが従う確率微分方程式を導出する揺動問題を扱った。古典物理の基礎的かつ重要な系であるハミルトン系に由来するモデルを対象とし、より具体的には、ランダムな摂動を加えたハミルトン系と、決定論的なハミルトン系から極限操作によって導出されるメゾスコピックな確率過程を対象とした。
本年度は、古典物理学で非常に重要であり様々な研究が行われている決定論的モデルである一次元調和振動子鎖に、ランダムなノイズ項を加えることで得られるモデルの、ノイズの強さへの依存性に着目した研究を行った。このモデルは、当該分野でも古典的に扱われているモデルであり、ノイズがない時とノイズが定数である時には、それぞれマクロな系のエネルギーの時間発展が質的に異なることが知られていた。今回の研究では、その間をつなぐようにノイズが系のサイズに依存して、マクロなレベルではノイズが０になるような場合を扱った。これにより、拡散型と非拡散型の時間発展の間を連続的につなぐスケール極限の理論が初めて得られた。本結果をまとめた論文は、Journal of Statistical Probabilityに出版された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度、ノイズが系のサイズに依存するモデルの研究に一定の成果を得て、論文の出版まで至ったことは予想以上の進展であった。このテーマは、本研究課題の主要なターゲットであり、先行研究がなかったため、研究に多くの困難があると思われたが、フランスやブラジルなど世界各地の最先端の研究者との議論を通じて予想以上に早く結果を得ることができた。
一方、研究代表者が６月より産前産後の休暇および育児休業に入ったため、結果的に全体としての進展は、当初の計画とほぼ同程度となった。
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| Strategy for Future Research Activity |
まずは、本年度得られた結果をより一般のモデルに適用することで、ノイズの大きさを系に依存させた場合の一般論を完成させることを目指す。これは、確率モデルと決定論的モデルの関係を明らかにする新しい手法になると考えられる。
また、本年度取り組む計画であったstochastic energy exchange modelの流体力学極限の証明に向けて、まずは既存の非勾配型モデルに対するエントロピー法の本質を明らかにし、より一般のモデルへ適用できるように拡張する。これにより、非常に広いクラスに用いることのできるスケール極限の手法を与えることができると期待される。それにより、stochastic energy exchange model以外の、決定論的な相互作用粒子系のメゾスコピックモデルとして導入された確率モデルに対しても、マクロな時間発展方程式を導出していく計画である。
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| Causes of Carryover |
妊娠出産に伴う研究中断のため、予定していた海外出張等が取りやめになったため
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
妊娠出産に伴う研究中断の申請時に計画した通りに、今年度は予定通り研究集会への参加や研究打ち合わせを行い、研究費を使用する予定である
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