2015 Fiscal Year Research-status Report
流体力学における偏微分方程式の解の形状に関する長時間挙動の解析
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25800070
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| Research Institution | Hirosaki University |
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Principal Investigator |
岡部 考宏 弘前大学, 教育学部, 講師 (00626872)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ナビエ・ストークス方程式 / エネルギー減衰 / 重み付きハーディー空間 / 時間周期解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
全空間における非圧縮粘性流体の運動を記述する非圧縮ナビエ・ストークス方程式の初期値問題を重み付きハーディー空間の枠組みで考察を行い、解の運動エネルギーの時間多項式減衰について知見を得ることができた。これまでの研究で、存在定理に関しては、既存の研究で要求されていた重み付きハーディー空間のノルムの小ささの条件を取り除くことに成功し、L_nノルムの小ささのみで、重み付きハーディー空間におけるナビエ・ストークス方程式の強解を構成し、付随するL_p-L_q型の減衰評価を得た。また、十分な重みを課した重み付きハーディー空間に属するような初期値に対して、空間次元と同じ次数までの高次漸近展開を行った。これにより、既存の研究で扱われていた初期値のクラスより広いクラスを扱うことができるようになった。さらに、上述の高次漸近展開の応用として、円対称性をもつ流れに対して、速いエネルギー時間多項式減衰を導出した。特に、上述の性質を満たす初期値の具体例の構成に関して精密化を行った。また、重み付きハーディー空間を用いた線形ストークス流の解析では、ルベーグ空間には現れない定性的な性質を見出すことに成功した。
滑らかな境界をもつ三次元有界領域において非圧縮ナビエ・ストークス方程式の時間周期問題を考え、大きな外力に対して、時間周期的な強解の構成を試みた。この取組において、部分的な解答として、外力の時間周期が、そのエネルギーの対して十分短い場合に強解を構成できた。また、周期が長い場合においては、領域内で外力が十分高振動していれば、境界が存在することを示した。特に後者の場合は、構成される解はL_3の中で小さいことが分かり、解軌道は一意的であることも証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非圧縮ナビエ・ストークス方程式の解の漸近形の解明に対しては、重み付きハーディー空間を用いた解析としては、最良の結果を与えることができた。
また、時間周期問題に対しては、大きな外力に対する古典解の解析に部分的な解答を与えることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
時間周期問題に関しては、有界領域に対して確立した新しい手法を、非有界領域に拡張することを目指す。そのためには、有界領域に対するポアンカレの不等式を用いる手法に代わる新しいアプローチの確立が重要である。また、大きなデータに対する時間周期問題の解決を目指していく。
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Research Products
(6 results)
