2013 Fiscal Year Research-status Report
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25800073
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
伊藤 健一 筑波大学, 数理物質系, 講師 (90512509)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 数理物理 / 関数方程式論 / リーマン多様体 / スペクトル幾何 / シュレーディンガー方程式 |
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| Research Abstract |
1. 多様体上でのシュレーディンガー固有関数の遠方での増大度の下限
シュレーディンガー固有関数の遠方での増大度の下限について、ユークリッド空間上では既に知られていた結果を、漸近的ユークリッド型エンドまたは漸近的双曲型エンドを持つ多様体上に拡張した。証明は、申請者が以前得た「埋め込まれた固有値の非存在」の証明手法を応用しており、申請者の知る限りではこの手法を適用するというアイデアは新しい。また定理の主張は、多様体の有界部分には本質的には言及しておらず、多様体遠方の情報のみに依存しているという点で非常に自然なものとなっている。
2. 多様体上でのシュレーディンガーレゾルベントに対する極限吸収原理と放射条件
前年度申請者が得たシュレーディンガーレゾルベントに対する極限吸収原理には多様体の有界部分に凸性に関するある種の強い仮定を置いていたが、それを外すことに成功し、同結果を一般の漸近的ユークリッド型エンドまたは漸近的双曲型エンドを持つ多様体上にまで拡張した。また更に同レゾルベントと放射条件との関係を調べ、同レゾルベントの極限作用素を放射条件に依って特徴づけた。凸性に関する仮定を外すための主要なアイデアは、人工的な斥力ポテンシャルを導入して有界部分への量子論的粒子の流入を防ぎ、ひとまずこの斥力シュレーディンガー作用素に対して極限吸収原理を示すことである。放射条件についてもまずはこの斥力シュレーディンガー作用素に対して検討される。現段階ではレゾルベントのベソフノルムに対する定量的な評価は得られていないが、人工斥力ポテンシャルを古典軌道に沿った適切な形状にして導入することで、定量的評価も得られると申請者はある程度期待している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
多様体上のシュレーディンガー作用素に対する定常的散乱理論の導入部分が既に十分な形で得られており、今後同理論を構築できるであろう見込みが立っている。これは交付申請書の研究計画に言及されている内容の一部を大きく発展させたものであり、ゆえに研究は当初の計画以上に順調に進展していると考えられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の通り、既に多様体上のシュレーディンガー作用素に対する定常的散乱理論の構築が見込まれているので、早急に完結させ、発表できる形にまとめる。またこれらから派生する新たな問題についても研究を進める。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
2014年3月15日から17日の学習院大への出張費がまだ未払いであるから。
上記の未払いの出張費に充てる予定である。
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