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2014 Fiscal Year Research-status Report

幾何学的対象の上でのスペクトル・散乱理論

Research Project

Project/Area Number 25800073
Research InstitutionKobe University

Principal Investigator

伊藤 健一  神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90512509)

Project Period (FY) 2013-04-01 – 2017-03-31
Keywords数理物理 / 関数方程式論 / リーマン多様体 / スペクトル幾何 / シュレーディンガー方程式
Outline of Annual Research Achievements

1. 多様体上のシュレーディンガー作用素に対する極限吸収原理と放射条件
前年度に得られた上記内容に関する定理の証明を新しい手法を用いて大幅に改良・簡略化し,定理の適用範囲をより自然な範囲にまで拡張できた.この分野ではよくあるように,我々の議論でもある種の交換子評価が証明の中心となるが,我々の手法では関数解析・フーリエ解析などの高度な道具を用いずに古典的な議論に徹することで2重交換子の評価を避けることができた.これにより,多様体の幾何とポテンシャルに関する滑らかさの仮定を緩めることができた.また,例えばユークリッド空間内の放物型領域の外部領域のような,錐型でない領域も扱うことができるようになった.さらに放射条件の相関数として,動径方向のリッカチ型方程式の近似解を用いることで,放射条件をより良い自然な形に改良できた.
2. 多様体上のシュレーディンガー作用素に対する定常的散乱理論
上記の1.よりやや強い仮定の下,多様体上での定常的散乱理論を構成した.より具体的には,与えられたシュレーディンガー作用素に付随したフーリエ変換を,レゾルベントの境界値の遠方での振る舞いを用いて定義し,それがある関数空間の間のユニタリ作用素であることを証明した.これは,時間に依存する散乱理論における,波動作用素の存在と完全性に対応する事実である.さらに,これまでの議論の応用として,複数のエンドを持つ多様体上において,散乱行列を各エンドに対応する成分で分割して行列表示したときに,その非対角成分が必ず単射となっていることも証明できた.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

前年度に得られていた結果を新しい手法を用いて大幅に拡張することができ,またやや強い仮定の下でではあるが,定常的散乱理論を構築することもできている.さらにその応用として,散乱行列のある性質も得られており,これらは研究計画に言及されている内容を大幅に超えている.よって当初の計画以上に進展していると判断される.

Strategy for Future Research Activity

多様体上の定常的散乱理論の全体像はすでに得られているが,年度後半に開発した新しい手法がまだ理論の後半部分には適用されておらず,この適用を早急に完成させる.さらにその後はこの内容を応用する方向で研究を進める.

  • Research Products

    (19 results)

All 2015 2014

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (17 results) (of which Invited: 16 results)

  • [Journal Article] A complete classification of threshold properties for one-dimensional discrete Schr\"odinger operators2015

    • Author(s)
      K. Ito, A. Jensen,
    • Journal Title

      Reviews in Mathematical Physics

      Volume: 27 Pages: 1550002

    • DOI

      10.1142/S0129055X15500026

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Journal Article] Absence of positive eigenvalues for hard-core $N$-body systems2014

    • Author(s)
      K. Ito, E. Skibsted
    • Journal Title

      Annales Henri Poincar\'e

      Volume: 15 Pages: 2379-2408

    • DOI

      10.1007/s00023-013-0309-x

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends (LAP and RC)2015

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      偏微分方程式姫路研究集会
    • Place of Presentation
      イーグレ姫路
    • Year and Date
      2015-03-07 – 2015-03-07
    • Invited
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends2015

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      第7回名古屋微分方程式研究集会 (The 7th Nagoya Workshop on Differential Equations)
    • Place of Presentation
      名古屋大学
    • Year and Date
      2015-03-04 – 2015-03-04
    • Invited
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      熊本大学応用解析セミナー
    • Place of Presentation
      熊本大学
    • Year and Date
      2014-12-13 – 2014-12-13
    • Invited
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      第3回 信州関数解析シンポジウム
    • Place of Presentation
      信州大学
    • Year and Date
      2014-12-02 – 2014-12-02
    • Invited
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      東京大学火曜解析セミナー
    • Place of Presentation
      東京大学
    • Year and Date
      2014-11-25 – 2014-11-25
    • Invited
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      研究集会「第25回 数理物理と微分方程式」
    • Place of Presentation
      神奈川県足柄下郡箱根町強羅 四季の湯強羅静雲荘
    • Year and Date
      2014-11-01 – 2014-11-01
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      第20回南大阪応用数学セミナー
    • Place of Presentation
      大阪市立大学
    • Year and Date
      2014-10-25 – 2014-10-25
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions and LAP on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      RIMS研究集会「スペクトル理論とその周辺(Spectral and Scattering Theory and Related Topics)」
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2014-10-17 – 2014-10-17
    • Invited
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      NLPDEセミナー
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2014-10-10 – 2014-10-10
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions and LAP on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      RIMS研究集会「偏微分方程式に付随する確率論的問題」
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2014-09-19 – 2014-09-19
    • Invited
  • [Presentation] Stationary scattering theory on manifold with ends (4回連続講演)2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      RIMS共同研究「多様体・格子・グラフ上のシュレディンガー方程式のスペクトル・散乱理論」
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2014-09-10 – 2014-09-12
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions and LAP on manifold with ends2014

    • Author(s)
      Kenichi Ito
    • Organizer
      Analysis Seminar
    • Place of Presentation
      Aarhus University
    • Year and Date
      2014-08-20 – 2014-08-20
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions and LAP on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      偏微分方程式セミナー
    • Place of Presentation
      北海道大学
    • Year and Date
      2014-07-28 – 2014-07-28
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions and LAP on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      愛媛大学解析セミナー
    • Place of Presentation
      愛媛大学
    • Year and Date
      2014-06-21 – 2014-06-21
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions and LAP on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      RIMS共同研究「線形および非線形分散型方程式に関する最近の進展」
    • Place of Presentation
      京都大学
    • Year and Date
      2014-05-21 – 2014-05-21
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions and LAP on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      大阪大学数学教室 微分方程式セミナー
    • Place of Presentation
      大阪大学
    • Year and Date
      2014-05-16 – 2014-05-16
    • Invited
  • [Presentation] Absence of $B_0^*$-eigenfunctions for the Schr\"odinger operator on manifold with ends2014

    • Author(s)
      伊藤健一
    • Organizer
      神戸大学理学研究科数学教室談話会
    • Place of Presentation
      神戸大学
    • Year and Date
      2014-04-16 – 2014-04-16
    • Invited

URL: 

Published: 2016-06-01  

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