2015 Fiscal Year Research-status Report
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25800074
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
佐々木 浩宣 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00568496)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非線形ディラック方程式 / ソボレフ空間 / 逆波動作用素 / 波動作用素 / 散乱作用素 / 重み付ソボレフ空間 / 散乱問題 / 調和解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度は、空間１次元の非線形ディラック方程式の初期値問題及び散乱問題における時間大域解の存在定理及び解の漸近挙動を中心に研究した。具体的に非線形項は、ボース・アインシュタイン凝縮におけるフェッシュバッハ共鳴に関連したもので、数学的には５次のオーダーを持つ。
（背景）この方程式に関しては研究代表者によって、「ソボレフ空間Ｈｓ（ｓ＞３／４）に属する小さな初期データに対して時間大域解が一意に存在すること、及び逆波動作用素、波動作用素、散乱作用素がＨｓの或る０近傍上において定義できること」が示されている。これら逆波動作用素達を詳細に分析するのが今回のテーマである。
以下説明する対象は「逆波動作用素」に絞り、ｋ、ｗ＞ｓとする。このとき、初期データｕ０がＨｋに属し十分小さければ、それを逆波動作用素で写したデータｕ＋も再びＨｋに属する。非線形項が多項式タイプである故、このｋは任意に大きくすることができる。即ち、滑らかで小さい初期データは、再び滑らかなデータとして写ることが分かる。滑らかさと同様に、「十分速く減衰するような初期データは、再び十分速く減衰するデータに写る」（性質Ｄと呼ぶことにする）ことが想像できる。性質Ｄは逆波動作用素の分析の上で重要な課題であるが、１次元についてはこれまで厳密に証明されたことがない（３次元については研究代表者による結果があるが、直接の適用ができるわけではない）。
（主結果）今回、性質Ｄが実際に成り立つことを厳密に証明した。具体的には、任意の自然数ｗと、ｓとｗより大きいｋに対して、「重み付ソボレフ空間Ｈｋｗの意味で小さい初期データは、逆波動作用素によってＨｋｗのデータに写される」を示した。証明のキーとなるのは「ディラック方程式と相性の良い微分作用素」及び「非線形項の評価」である。なおこの結果は学術論文として纏められ、国際会議報告へ投稿された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
第三年度としてはおおむね順調に進展していると考える。
当初の計画においては「空間１次元のp乗非線形ディラック方程式における散乱作用素を精密に解析する」という目標を設定した。上部の「研究業績の概要」において記載した結果は、散乱作用素の精密な解析と大いに関連があり、本来の目標達成に大きく寄与する可能性があるものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
現段階で得られている主結果及びそれを得るに至る手法を応用・修正することで、更に深い諸性質を明らかにしていく。
その際に調和解析学（フーリエ解析、バナッハ空間の実補間空間論及び複素補間空間論、自己共役作用素のスペクトル理論など）の深い洞察が必須となるので、周辺分野の研究も適時行う。また考察を補助的に支えるシミュレーションに関しても積極的に行う。横断的な研究活動となることが予想されるので、それぞれのエキスパートである専門家とのディスカッションを精力的に行う。
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| Causes of Carryover |
平成２８年度は多くの出張と書籍ならびに、パソコン周辺機器の購入を予定しており、その遂行のために今年度の支出をある程度抑えた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本研究では様々な分野（偏微分方程式論、関数解析学、数理物理学）の技術・知識を必要とするため、それに関係する書籍を年間１５冊程度（２０万円程度）購入する。
本研究における論文作成、成果発表資料作成、シミュレーション作成、研究者間の通信のため、パソコン周辺機器の充実化が必須である。今年度は２０万円程度の購入を計画している。
本研究の打ち合わせ並びに研究成果発表のために、出張を行う。国内出張先として、京都大学、信州大学などが挙げられる。またタイミングがあえば海外出張も行う。予算は４０万円程度である。
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