2013 Fiscal Year Research-status Report
緩和項を持つ偏微分方程式の消散構造の研究と安定性解析への応用
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25800078
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
上田 好寛 神戸大学, 海事科学研究科(研究院), 准教授 (50534856)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 漸近安定性 / 安定性解析 / 可微分性の損失 / 非線形構造 / 双曲型方程式 / 定常問題 |
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| Research Abstract |
本研究では，気体力学から導かれる非線形偏微分方程式に対する数学解析を主な目的とし，特に一般の対称双曲型方程式系や、その具体例であるEuler-Maxwell方程式系における安定性解析を目標に研究を進めてきた。特に、Euler-Maxwell方程式系やTimoshenko方程式系などには、これまでに見られなかった「可微分性の損失」とよばれる消散構造が現れることがわかっており、この「可微分性の損失」が引き起こされる原因の解明と特徴付けが本研究の最大の目的である。その研究目的のもと本年度に得られた成果について報告する。
研究者はこれまでEuler-Maxwell方程式系をひとつの題材として「可微分性の損失」について研究を行ってきた。特に、平衡点周りの非線形安定性解析については、これまでに漸近安定性と、対応する定量的収束評価を導出している。そこで、今年度はこれらの結果を基に、「可微分性の損失」が様々な非線形波の安定性解析にどのように影響を及ぼすのかについて考察するため、定常解の安定性解析を試みた。その結果、まず始めに定常解の構成に着手し、電場ポテンシャルを導入することで定常解の存在を示すことに成功した。また更に、エネルギー法を用いることで、本定常解の周りの漸近安定性についても解析を行った。これらの結果を、既知の平衡点周りの安定性に関する結果と見較べてみると、初期値に課される可微分性など、消散構造はほぼ同様であることが伺えた。よって、「可微分性の損失」は様々な非線形波に対して同様の効果を引き起こすものと予想される。
また、上記の研究成果を携え、学会等での研究発表も積極的に行った。本年度の研究発表回数は、海外発表7回、招待講演3回を含む計13回である。研究集会の場では毎回活発な意見交換がなされ、今後の研究の方針を定める上での貴重な意見も頂くことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は当初の予定通り、Euler-Maxwell方程式系に現れる定常解の安定性解析を中心とした研究を行い、期待されていた結果を十分に導き出すことに成功した。また、一般の対称双曲型方程式系に関する一般論の構築についても、明確な結果が導出できているわけではないが、様々な計算を行っており、これらを機に次年度の研究についても方針が出来ている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の方針として以下を計画している。ひとつめは、Euler-Maxwell方程式系に関する更なる考察を考えている。具体的には、これまでに得られた定常解に関する漸近安定性についての定量的時間収束評価の導出と、平面波など異なる定常解の解析である。これらの研究により、非線形波の安定性解析における「可微分性の損失」についての進展が大きく期待される。
ふたつめとして、一般論の構築に向けて比較的単純なモデルを構築し、解析を行う。研究者が描いているモデルでは方程式系の大きさによって様々なタイプの「可微分性の損失」が起こることが予想でき、それらを考察することによって、「可微分性の損失」のより本質を見いだせるのではと考えている。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
今年度は研究打ち合せ等に旅費を計上していたが、共同研究者などより旅費の援助を頂いたため、予定よりも使用額が少なかったため。
次年度に計画している、国際研究集会HYP2014(ブラジル)とAIMS2014(スペイン)への参加・発表のための旅費に使用予定。
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