2014 Fiscal Year Research-status Report
一般化スペクトル理論の構築と発展方程式の分岐理論への応用
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25800081
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
千葉 逸人 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (70571793)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 一般化スペクトル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究において，研究代表者は，ゲルファンドの３つ組を用いた新しい線形作用素のスペクトル理論を構築した．またこれを結合振動子系やシュレディンガー方程式などの無限次元力学系の解の挙動の研究に応用した．これらの問題においては，方程式の線形部分を定義している線形作用素が，虚軸上に連続スペクトルを持つため，従来のスペクトル理論では解のダイナミクスを決定することは困難であった．そこで研究代表者は，ゲルファンドの３つ組を用いて一般化された意味での固有値を定義し、その一般化固有値が解のダイナミクスを支配していることを明らかにした．すなわち，通常のヒルベルト空間の位相ではなく，問題に応じた適切な位相を導入することで，スペクトルが虚軸上にしか存在しないにもかかわらず，線形作用素の半群が減衰しうることを証明した．この理論を，蔵本-大同モデルなどの，応用上も重要な無限次元力学系に適用することで，同期現象が起こる数学的なメカニズムを明らかにした．
結合振動子系やシュレディンガー方程式は，物理や工学など応用上においても重要な方程式であるため，これらを解析するための新しい手法が確立されたことには大きな意義がある．また一般化固有値は線形作用素の基礎理論としても重要な位置づけを持っており，純粋数学の観点からも意義深い．
これらの結果が評価され，スペインやイギリスで行われた力学系理論についての国際会議に招待され，講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初の目標であった一般化スペクトル理論の構築とその応用はおおむね達成された．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は一般化スペクトル理論を抽象的な発展方程式の解の研究に応用する．
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