2016 Fiscal Year Annual Research Report
A study on the generalized spectral theory and its applications to evolution equations
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25800081
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
千葉 逸人 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (70571793)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 一般化スペクトル理論 / 蔵本モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，ゲルファントの３つ組と呼ばれる線形位相空間の組に基づいて，あるクラスの線形作用素に対する一般化スペクトル理論を確立し，これを無限次元力学系の分岐理論に応用することであった．ここで主に考える力学系は，方程式の線形部分を定義する線形作用素が連続スペクトルを持つため，従来の力学系理論が適用できないような方程式である．特に，結合振動子系と呼ばれるクラスの方程式や反応拡散系などを想定している．
このような目的のもと研究を行った結果，連続スペクトルを持つような線形作用素に対する一般化スペクトル理論の基礎を構築することができ，これにより連続スペクトルを持つような無限次元力学系の解析を行う基盤ができあがった．特にこの理論によれば，一般化固有値と呼ばれる固有値の一般化版とその固有超関数が，力学系のダイナミクス（解の漸近安定性や分岐など）を支配していることが明らかになった．
得られた結果を，結合振動子系の代表格である蔵本モデルに適用した．蔵本モデルについては，「結合強度がある閾値を超えると相転移が起きて安定な同期解が現れる」という蔵本の予想が知られていたが，虚軸上に連続スペクトルが乗っているという困難のため，長い間未解決問題であった．そこで本研究者は一般化スペクトル理論を蔵本モデルに適用することで，蔵本の予想を厳密に証明することに成功した．
以上の結果を何本かの論文として出版した他，多数の国際会議で報告した．
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