2013 Fiscal Year Research-status Report
線形微分方程式の解の大域挙動とモノドロミ保存変形に関する研究
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25800082
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
眞野 智行 琉球大学, 理学部, 准教授 (60378594)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | モノドロミ保存変形 / 積分表示 / 近似理論 |
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| Research Abstract |
今年度は大きく分けて次の2つのテーマについて研究成果が得られた。1つ目は線形微分方程式のシュレジンガー変換を構成するアルゴリズムとそのモノドロミ保存変形への応用に関することであり、2つ目は完全積分可能なパッフ系の構成とその応用に関することである。
1つ目のテーマについて、これは一橋大学の津田照久氏との共同研究である。高階の線形微分方程式の(特性指数をある方向にずらす)シュレジンガー変換がエルミート-パデ近似と同時パデ近似の双対性を用いて記述できることを明らかにした。その応用としてUC階層の相似簡約から得られるモノドロミ保存変形の超幾何解の繰り返し積分による記述を得た。また、このアルゴリズムを用いると一般のモノドロミ保存変形に付随して定義されるタウ関数の行列式構造も自然に導くことができる。以上の研究は、これまで何人かの研究者が個別に得ていた結果を統一的な視点から自然に記述するものであり、またより一般の場合への適用も可能であるという点で有意義な成果であると言え、さらなる展開も期待できる。
2つ目のテーマについて、これは琉球大学の加藤満生氏との共同研究である。前年度以前に完全積分可能なパッフ系の具体例がいくつか与えられていたが、本年度の研究はこれにある程度一般的な理論的枠組みを与えるものである。これまでの例は全て大久保型微分方程式の多変数化という形にまとめることができた。この記述により有理的対数ベクトル場との関係が自然に理解され、自由因子との関連もある程度理解できるようになった。ただし未だ完全な理解には程遠く、それは今後の課題である。この研究によりパンルヴェ方程式およびその高階化の代数解の構成への応用が期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究計画に沿っておおむね期待通りの結果が得られたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後しばらくは上記の2つのテーマに関連した研究を進展させる。
１つ目について、エルミート-パデ近似や同時パデ近似と直交多項式や連分数展開の関係はすでに知られているが、これをシュレジンガー変換との関係で見た場合どのように記述されるかというのは興味深い問題である。また、これまでに現れた近似問題以外にもいろいろな近似問題が知られているが、これと線形微分方程式の関係を調べることも重要な問題である。これはシュレジンガー変換の特性指数のずらし方を一般化することに関係があると思われる。さらに戸田方程式といった無限可積分系とシュレジンガー変換やモノドロミ保存変形との関係を近似問題や直交多項式を通して理解するということも興味深い問題である。今後はこういった問題に順次取り組む。
2つ目について、多変数大久保型微分方程式と自由因子の関係についてより深く研究する。また、これまでに得られた例は全て3階パッフ系であり、これから第６パンルヴェ方程式の代数解が導出できることが分かっているが、4階パッフ系の構成にも取り組む。
これが得られれば高階パンルヴェ方程式の代数解が導出できることが期待される。このような代数解はこれまでに全く知られていないもので、ある種の代数曲面と関係することが予期されており、きわめて興味深いものである。
これらの問題に取り組みながら、得られた結果を基により広範囲の対象に課題を広げていくことを考えている。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
2月に国内出張で研究集会において研究成果の発表を予定していたが、行き先の天候悪化により交通機関が遮断され講演がキャンセルとなったため、その分の旅費が使用されず翌年度使用することとなった。
次年度の開催される別の研究集会で研究成果の発表を行うことにし、そのための旅費として使用する予定である。
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