2017 Fiscal Year Annual Research Report
Qualitative and quantitative analysis of solution to Schrodinger equations
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25800083
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
水谷 治哉 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (10614985)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | シュレディンガー方程式 / 時空間評価 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は Schrodinger 方程式に対して、空間の非斉次性 (幾何構造) や外部ポテンシャルが与える影響を解の時空間評価式を通して解析することであった。前年度までに Schrodinger 方程式の構造から自然に現れるスケール変換に関して臨界なポテンシャルを扱った場合に、結合定数が劣臨界であれば、ポテンシャルを伴わない自由な場合と同一の結果 (Strichartz 評価、平滑化効果や一様レゾルベント評価など) が摂動論の視点から得られることがわかっていた。一方、結合定数が臨界の場合には、本質的スペクトルの下端に閾値固有値や閾値共鳴状態などの障害が発生し、自由な場合とは異なる現象が現れると予想されている。本年度はそのような臨界状況の具体例として、空間3次元以上で Hardy 不等式の最良定数を結合定数に持つ負の逆二乗ベキポテンシャルを伴う場合を考察した。このとき Hardy 不等式の virtual minimizer が閾値共鳴状態となる。まず、初期値が閾値共鳴状態の定数倍で表される場合には、 weak type の端点 Strichartz 評価は成立するが通常の端点 Strichartz 評価は成り立たないことを発見した。さらに、初期値が閾値共鳴状態と直交していれば、通常の端点 Strichartz 評価が非斉次の場合も含めて成立することも証明した。また、証明の過程において、2次元自由 Schrodinger 方程式の時間大域的平滑化効果に対する既存の Lebesgue 空間での結果を精密化し、平滑化効果が成立する重み関数の最良性についてLorentz 空間における特徴づけを与えた。
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