2014 Fiscal Year Research-status Report
境界条件付平均曲率流の解の境界挙動と非線形退化放物型方程式
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25800084
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
水野 将司 日本大学, 理工学部, 准教授 (80609545)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 平均曲率流方程式 / 幾何学的測度論 / 特異極限問題 / 退化放物型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 直交境界条件付き平均曲率流の測度論的弱解と, 等高面法による弱解との関係について, 研究協力者である利根川吉廣教授と考察した. 我々が定式化した弱解が妥当なものであるかを検証するためには, 既存の弱解との関係を明らかにする必要がある. 全空間の問題については, EvansとSpruckにより, 等高面法による弱解がほとんどすべての等高面について測度論的弱解とみなせることが示されている. 我々はEvans-Spruckの手法が直交境界条件付き平均曲率流の等高面法による弱解に適用可能か, また適用できた場合に我々が定式化した測度論的弱解とみなせるか否かについて考察した.
2. 変数係数Allen-Cahn方程式の特異極限問題について, 研究協力者である白川健准教授, 渡邉紘氏と考察した. 接合漸近展開による形式的考察により, 本問題はFinsler多様体上の平均曲率流と関係があり, 研究当初は境界条件付平均曲率流の解析手法が適用できると考えた. しかし, Finsler多様体上の平均曲率流に対して単調性公式(もしくはリャプノフ汎関数の存在)が成り立つかが明らかでないことがわかり, 測度論的弱解の存在も明らかではないことがわかった.
3. 直交境界条件付平均曲率流のグラフ解に対する先験的正則性について, 研究協力者である高棹圭介氏と考察した. 昨年度までの研究で明らかにした境界単調性公式をグラフ解に対して導出し, 高棹氏による平均曲率流のグラフ解の内部正則性評価と組み合わせることにより, 境界単調性公式を導出した. さらに, 高棹氏の手法を洗練することにより, 背景流に対する正則性条件をスケーリングの議論によって自然な課程に緩めることができた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度は, 本研究によって得られた定式化の妥当性の解析や手法の応用など, 申請時に予見できなかった問題への取り組みのために, 申請時の計画に比べるとやや遅れている. しかし, 定式化の妥当性を明らかにすることは, 本研究において基礎的な課題であり, 今後も研究を推進する必要がある. また, 平均曲率流のグラフ解の正則性評価と背景流の正則性条件の関係を明らかにしたことで, 直交境界条件付平均曲率流の測度論的弱解が存在するための背景流の適切な正則性条件も明らかになった. また, 変数係数Allen-Cahn方程式の特異極限問題は, 埋め込みによる微分方程式としての退化性と埋め込まれる多様体の正則性の崩壊の関係をみることにつながっており, 境界の正則性と平均曲率流の境界挙動の関係を調べる上でも関係が深いと思われる.
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| Strategy for Future Research Activity |
まず, 当初の研究計画にある, 背景流と直交境界条件のついた平均曲率流の測度論的弱解の存在をAllen-Cahn方程式の特異極限問題を用いて証明する. 高棹-利根川の研究と研究協力者の高棹氏との共同研究により, 背景流に対する適切な正則性条件のもとで存在が証明できる見通しがたっている. 次に平均曲率流の境界正則性理論の構築に取り組む. これは, 葛西-利根川の放物型内部正則性理論の境界への拡張である. 研究協力者の高棹氏との共同研究からの類推により, 平均曲率流の測度論的弱解についても, 葛西-利根川の結論と同等の結果が得られることが期待できる. さらに余裕があれば, グラフ解の正則性と背景流の正則性との関係を精査する. グラフ解の理解が測度論的弱解の知見を与えることが明らかとなったため, グラフ解の正則性や境界の特徴付けをどのように与えるかなどを調べる.
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| Causes of Carryover |
本研究に関する研究集会の企画が今年度中に間に合わなかったため, 残額が発生した.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度, 予定している海外出張の旅費に用いる. また, 本研究に関係の深い研究集会が多く開催されることが予定されているため, 研究集会参加のための国内旅費に使用する.
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