2015 Fiscal Year Annual Research Report
境界条件付平均曲率流の解の境界挙動と非線形退化放物型方程式
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25800084
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
水野 将司 日本大学, 理工学部, 准教授 (80609545)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 平均曲率流方程式 / 境界挙動 / 幾何学的測度論 / 特異極限問題 / 非線形固有値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 研究協力者の高棹圭介氏と共同で, 背景流と直交境界条件のついた平均曲率流のグラフ解について考察した. 昨年までに導出した先験的境界勾配評価とSchauder評価を組み合わせることにより, グラフ解が時間局所存在することを示した. 本研究をうけて, 解の大域可解性と最大存在時間における局所解の爆発解析, 動く曲面上の平均曲率流のグラフ解がどのような偏微分方程式に従うかなど, 興味ある問題が多々得られた.
2. 研究協力者の白川健氏, 渡邉紘氏と共同で, 非等方的平均曲率流とBrakke流について考察した. 非等方的極小曲面に対して, 面積汎関数の単調性が成り立たないというAllardの結果をうけて, 現状では単調性のない幾何学的変分問題に対する可解性や正則性の解析は困難であることから, 等方的Allen-Cahn方程式の時間離散化問題の収束性について考察した. これは, 定常Allen-Cahn方程式に外力項をつけた問題に対する二重特異極限問題に対応する. そこで, 定常Allen-Cahn方程式に対する単調性公式と特異極限との関係について考察した.
3. 研究協力者の葛岡良貢氏と共同で, Dirichlet条件を課した非線形固有値問題の第一固有値の単純性について考察した. Lindqvistにより, 非線形固有値問題の単純性が領域の形状に関係なく得られている. そこで, Lindqvistの手法を考察し, どのような情報が境界の形状に無関係となるかを解析した. 第一固有値が非線形性を変化させたときにどのように変化するか, また領域の形状とどのような関係を持つかについて考察した.
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