2014 Fiscal Year Research-status Report
退化性を持つ非線形放物型方程式と結晶粒界現象を記述する数学モデルに対する数学解析
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25800086
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| Research Institution | SALESIAN POLYTECHNIC |
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Principal Investigator |
渡邉 紘 サレジオ工業高等専門学校, その他部局等, 准教授 (30609912)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 非線形解析 / 退化放物型 / 保存則 / エントロピー解 / 適切性 / 発展方程式 / 結晶粒界現象 / 全変動汎関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 強退化放物型方程式
昨年度末の段階では不連続な係数を持つ強退化放物型方程式に対する動力学的定式化を行う予定であった。しかし、滑らかな係数を持つ場合を含め、方程式の可解性に対する更なる数学的考察を得ておくことが先決であると考え、来年度以降に取り組むことにした。その代わり本年度は、方程式の持つ係数が可解性に及ぼす影響に着目し、考察を行った。特に、係数が空間変数と時間変数に依存する場合、可解性を保証するための条件を導出することが目標である。先行研究では移流項が変数係数である場合は考察されているが、退化拡散項も変数係数になっている場合の研究は少ない。よって本研究では退化拡散項も変数係数となっている場合を考察した。まず、各係数は各変数に関して十分滑らかである場合に対する研究を行い、有界変動関数の空間内でエントロピー解を構成することができた。次に、各係数が空間変数に関して不連続な場合を考察した。この場合、可解性を証明するための手法を変えなければならないため、各係数が時間変数に依存している場合は非常に難しい。よって各係数が空間変数のみに依存している場合を考察し、エントロピー解を構成することができた。
(2) 結晶粒界現象を記述する数学モデル
現在までの研究により、1次元問題に対する解の存在性に関しては幾つかの結果が得られているが、解の一意性を証明するのは非常に困難な状況である。この状況から、解の近似に関する「安定性」を保証することを本年度の第一の目的とした。実際、近似法の「有効域」を定義することができ、その範囲内の近似法を用いれば、自由エネルギーを消散させる解を構成することができることを確認した。次に結晶の凝固度を考慮したモデルの多次元問題を考察した。まず等温系の場合を考え、解の存在性、エネルギー消散性と漸近挙動を得た。次に非等温系の場合を考察し、解の存在性までを得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非線形放物型方程式の拡散項や係数が持つ退化性が解に与える影響を考察することが本研究の目的である。
(1) 強退化放物型方程式に関しては、「粘性消滅法を用いた方程式の可解性」という観点から研究目的に対する数学的考察を得ることができた。
(2) 結晶粒界現象を記述する数学モデルに対しても、構成した解の形状に関する数学的考察が「漸近挙動」という形で得られている。また、研究協力者の白川健氏(千葉大学)とバレンシア大学を訪ね、モール氏(バレンシア大学)と共同研究を行い、解の構造解析に着手するための考察を行うことができた。
以上により、本研究は「おおむね順調に進展している」といえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
強退化放物型方程式に対しては、今年度先送りにした動力学的定式化について取り組む。また、適合エントロピーを用いた解の構成についても考察を行う。これにより、不連続な係数を持つ場合に対する研究の進展を与えることが期待される。さらに、これまでに得られた研究成果を足掛かりにして、強退化放物型方程式の連立系を考えることも考慮する。
結晶粒界現象を記述する数学モデルに対しては、凝固を考慮したモデルの非等温系の場合を考察し、解のエネルギー消散性と漸近挙動を得ることを最初の目標とする。次に、本研究の課題の一つである解の形状に対する考察を与える。実際、これまでの研究成果に加え、バレンシア大学での研究打ち合わせの内容から、数学的に詳細な結果が得られることが期待できる。
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| Causes of Carryover |
書籍一冊分の未使用金が発生した。発送が遅れ、年度内に清算ができなかったために生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
届いた書籍を清算することで、未使用金を消化する。27年度の予算については、当初の計画を変更することなく、主に国際会議への参加、国内研究集会への参加や研究協力者との研究打ち合わせに使用し、成果発表や最新の研究に関する情報収集を行う。
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