2014 Fiscal Year Research-status Report
変分法を用いた液適や泡の運動モデルに対する数理解析
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25800087
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
GINDER Elliott 北海道大学, 電子科学研究所, 助教 (30648217)
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2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | Threshold dynamics / free boundary problems / droplet motion / approximation scheme |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成26年度の研究は「Threshold dynamics」 (TD)の視点から液適運動に着目しました．平成25年度の研究では, 従来の拡散方程式を使用するBMOに加え，波動方程式への変更より曲率に依存する法線加速度の界面運動を近似できた事が大きな一歩だった(HBMO)．しかし，この結果では時間が短い場合を限定した上での証明のみ可能だったため，今年度は更にこの結果の延長に取り組んだ．中でも時間を飛ばしてもHBMOは収束する上，アルゴリズムの収束orderは時間のステップサイズであることを証明する事に力を注ぎ，それを証明する事ができた．この証明のポイントとしては，アルゴリズムの時間が離散化されているため，時間ステップごとの界面法線ベクトルにおける角度の評価における必要性が挙げられる．ここで初期速度が界面の法線方向のみに働くと，時間ごとの法線ベクトルにおける角度が小さいことが分かるため，各界面の符号付き距離関数のTaylor Expansionを書く事ができる．よって，昨年度の結果を用いて今年度はその証明が可能となった．さらに，作成したアルゴリズムの数値解析と，「Minimizing movements」(MM)により体積保存条件のMultiphase用アルゴリズムと接触角を制御するアルゴリズムの作成にも取り組んだ．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平均曲率流に比例する加速度による界面運動についてTDスキームの基本構造を提案した．これに対し，スキームの詳細な解析と拡張を行い，数値計算ライブラリーにも実装ができた．
まず，HBMOの各ステップの初期値である符号付距離関数のTaylor Expansionから出発し，スキームの近似性質を調べた．これにより各ステップにおける界面への法線方向がずれる角度に最大で時間ステップに比例する誤差しか生じないことがわかり，スキームの収束を示すことができた．初期値界面が円の場合，解析解と照らし合わせることでスキームの解析も行った．また，開発したアルゴリズムに対し有限要素法と最小化法に基づいたプログラムを作成し，円の場合の収束を確認した．
次に，開発したスキームの拡張も行った．特に符号付距離関数のベクトル値バージョンを考案することにより，多相の問題をシンプルに扱えるスキームを構成した．その上，時間の離散化を経た最小化法を用いることにより，相の体積保存をペナルティーとして組み込むことに成功した．また，境界条件を変更することで接触角のダイナミックスの計算方法を確立した．
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| Strategy for Future Research Activity |
体積保存条件付きHBMOアルゴリズム（VPHBMO）の作成により，振動する界面運動に着目したい．特にVPHBMOの収束性に着目し，それに関わる数理構造への理解を深めたいと考えている．数値実験により，VPHBMOのようなアルゴリズムは体積保存条件付双曲型平均曲率流の近似解法になることが期待できるため，この方針で研究を進める予定である．また，3次元HBMOの数値計算を行う際に界面の形状を見つけるアルゴリズムが必要となり，研究の数値解析を進める上での大きな課題となっている．加えて，スカラー液滴運動のモデル方程式の解の存在についても証明を試みたい．
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| Causes of Carryover |
第８回の応用数理研究会までの予定していた旅費がかからなかったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
変分法に関する教科書またはトナーを購入する予定です．
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