2013 Fiscal Year Research-status Report
量子ウォークによるネットワークの構造解析に向けた研究
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25800088
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
瀬川 悦生 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (30634547)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 量子ウォーク / 単位円周上直交多項式 / スペクトル写像 |
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| Research Abstract |
本研究の目的である、ネットワーク上の量子ウォークの固有値解析では、今後の量子ウォークによるネットワークの構造解析で重要になるような二つの重要な様相を発見した。
一つ目は、量子ウォークの背後にあるセルオートマトンの存在を明らかにしたことである。このセルオートマトンは所謂、波動方程式の時空間離散版であることが分かった。このセルオートマトンの実軸上の固有値分布を単位円周上に射影したものが、まさに量子ウォークのスペクトルの一部分として、遺伝している。さらに残りのスペクトルは、グラフの閉路で生成されるホモロジカルな固有空間で特徴づけられることが分かった。これによって、例えば結晶格子上の量子ウォークの極限定理を導き出すことができ、遺伝部分の偏角のヘシアンが、量子ウォークの分布収束の密度関数を記述し、ホモロジカルな固有空間によって局在化が得られることを明らかにした。
二つ目は、単位円周上の直交多項式(UCOP)において、量子ウォークの”弾道的拡がり”と呼ばれる新たな統計的な性質を導入し、Szego classと呼ばれるUCOPで、例えば定常過程の研究などでよく研究されているクラスと一対一の関係であることがほぼ証明できつつある。Schur係数が全体に渡って、異なる場合において、QWの極限分布を明示的に与えることができた初めての結果であると考えられる。Schur係数が一定のときは、所謂、連続な台を持つ今野関数で特徴づけられ、波動は線型的に拡がる。一方で我々のモデルではその線型的な拡がりはより強く、弾道的に拡がる。すなわちボトムでのデルタ関数で特徴づけられる。この弾道的拡がりが起こる為の必要十分条件が量子ウォークのSchur係数がSzego classに入るようにとることであることがL. Valazquez, F.A Grunbaum 両氏との共同研究により明確なりつつあり、論文を執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度の計画の一つであるCMV行列の観点から見た、量子ウォークの典型的な挙動を表すクラスUの特徴づけは、少しずつ進展しており、引き続き考察している。その考察の副産物として、弾道的拡がりと呼ばれる、クラスUを外れるモデルの極限定理を導き、さらにそれが、単位円周上の直交多項式でよく研究されているSzego classと呼ばれるクラスと強い繋がりがF.A.Grunbaum氏とL. Valazquez氏との共同研究により存在することが分かりつつある。また、結晶格子上でも二段階の極限定理を表すことが、固有値写像定理等を導入することで明らかにした。
さらに、次年度に本格的に行う予定であった二つの研究に関して、進展があった。
まず一つ目は、量子ウォークとは何かという本質的な問いに対する答えの一つに近づくことができた。量子ウォークの定義はランダムウォークの類推から、容易に理解できる。それにもかかわらずその挙動はランダムウォークと大きく異なり、その本質的な姿を未だ捉えきれていない。この研究計画の一つである、量子散乱との対応関係について、ある程度のことを明らかにしたことにより、このアプローチを試みることができた。標語で言えば、量子ウォークのダイナミクスは散乱行列によって記述される。このことを論文にまとめることができた。
そしてもう一つは、「量子ウォークの3乗の正台のスペクトルは、強連結グラフの同型を判別できる」という予想問題に対するアプローチである。樋口氏、佐藤氏、今野氏との共同研究により、ある条件下での3乗の正台の固有方程式の表現を与え、論文にまとめることができた。今後の研究の土台を構築した。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず一つ目は、第一年目で完全に達成できなかった量子ウォークの極限定理のクラスである「クラスU」を単位円周上の直交多項式の観点から明らかにする。その為には、幾つかの準備が必要になる。第一年目で得られたこの研究の鍵となる固有値写像定理は、量子ウォークの背後にある研究の良くされているセルオートマトンのスペクトルから量子ウォークのスペクトルが分かるというものである。その応用としてこの固有値写像定理をフーリエ変換が有効な空間的に周期的な構造をした無限グラフに対して活用し、その極限定理を与えることが、この第一年目ではできた。そこで、今年度は、空間的に非均一な場合においてもこの固有値写像定理がどこまで適用可能なのかを調べる。まず手始めとして考えているのが、直交多項式と相性がいい半直線で、量子ウォークを通じて、実軸上の直交多項式と単位円周上の直交多項式との対応関係について考察する。これは古くはGeronimous relationやSzego relation 等の名前で知られている関係があるが、さらにそれらを量子ウォークという新しい物理的なダイナミクスの観点から見つめ治す。
量子ウォークはユニタリ変換で時間発展し、各時刻ごとに定義された分布列であり、確率過程ではないと考えられている。しかし本研究の副産物として現れた量子ウォークの弾道的拡がりとSzego classとの関係がつきつつある；Szego classは定常過程と呼ばれる確率過程と密接な関係がある。このことについてさらに吟味をし、量子ウォークの本質的な姿に迫る。
同型判別の予想問題が示唆するように、量子ウォークは我々がまだ気が付いていない何かしらのグラフの空間構造を検出しているはずである。それを浮き彫りにするための一つの手段として、この第一年目で導入した量子ウォークからモチベートされたゼータ関数について議論をより掘り下げていく。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
効率的に執行したことにより未使用額が生じた。
今年度の物品費として使用する。
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Research Products
(16 results)
