2013 Fiscal Year Research-status Report
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25800089
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
依岡 輝幸 静岡大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60432192)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 公理的集合論 / 強制法 |
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| Research Abstract |
(1) 本年度は 1980年代に S. Todorcevic が導入した side condition method の研究を中心に行った。
Side condition method は必ずしも CCC 強制法では不可できそうにない不可算集合を有限近似で付加する proper 強制法のひとつである。Todorcevic はこの手法を用いて「S-space が存在しないことが無矛盾である」ことを示し、この位相空間論における未解決問題を解決した。
J. Zapletal は S-space が存在しないことが無矛盾であるときに用いられた side condition method がルベーグ測度ゼロの集合族の加法性を保存することを証明し、「S-space が存在せず、ルベーグ測度ゼロの集合族の加法性が aleph_1 である」ことが無矛盾であることを示した。本年度、これをさらに発展させ、「S-space が存在せず、ルベーグ測度ゼロの集合族の被覆性が aleph_1 である」ことが無矛盾であることを証明した。証明の最も重要なステップは「S-space が存在しないことが無矛盾であるときに用いられた side condition method がランダム実数を不可しない」ことの証明である。
(2) 1980年代に Todorcevic により導入され、E. Thuemmel により再定義された Todorcevic ordering についても研究した。Thuemmel は「ある Todorcevic ordering は sigma-finite chain condition を持つが sigma-bounded chain condition を持たない」ことを示し、Horn-Tarski の問題に答えた。測度を備えたブール代数は sigma-bounded chain condition を持つので、Thuemmel の与えた Todorcevic ordering は測度を持たない。Thuemmel の結果を発展させ、「多くの Todorcevic ordering は測度を備えた正則部分ブール代数を持たない」こと、つまり「多くの Todorcevic ordering はランダム実数を付加しない」ことを証明した。これは多くの Todorcevic ordering がランダム実数を付加しない新しい CCC 強制法であることを示している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度は、次の2編の論文を執筆し学術雑誌に投稿した。(1) Keeping the covering number of the null ideal small, (2) Todorcevic orderings as examples of ccc forcings without adding random reals.
(1) では、「Zapletal の ideal based forcings がランダム実数を不可しない」ことを示し、それより「S-space が存在せず、なおかつ the Lbesgue measure zero ideal の covering number が aleph_1 であることが無矛盾である」ことを証明した。(2)では、「位相空間 X に対して、X が強い意味での hereditarily separable（例えば operably metrizable など）か、Balcar-Pazak-Thuemmel の condition 1 のどちらかを満たせば、X からなる Todorcevic orderings がランダム実数を付加しない」ことを証明した。
以上のことから、「おおむね順調に進展している」と判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
Side condition method の新しい保存定理をさらに発展させる。
Todorcevic は side condition method を導入したほか、 P-ideal Dichotomy という新しいラムゼイ理論的公理を導入し、「P-ideal Dichotomy が成り立ちなおかつ tower number が aleph_1 より大きければ、S-space は存在しない」ことを証明した。「P-ideal Dichotomy が成り立ち、S-space が存在しないならば、tower number は aleph_1 より大きいか」という問題はまだ解決である。
正しいのであれば、「S-space が存在しないことが無矛盾であるときに用いられた side condition method が P(omega) 上の tower を保存する」ことを証明し、「P-ideal Dichotomy が成り立ち、S-space が存在しないならば、tower number は aleph_1 より大きいか」Todorcevic の問題を否定的に解決したい。
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