2013 Fiscal Year Research-status Report
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25800090
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Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
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| Research Institution | Shiga University of Medical Science |
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Principal Investigator |
川北 素子 滋賀医科大学, 医学部, 准教授 (80467373)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | Serre上界 / Wiman曲線 / Edge曲線 |
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| Research Abstract |
代数幾何符号の理論を用いると、効率のよい符号を得るために有理点を多数持つ代数曲線が必要となることが分かっている。Serre上界は代数曲線の有理点数の上界を与えている。最大曲線以外の曲線で、Serre上界に達するものはあまり知られていない。
本年度の研究で、Wimanの6次曲線の一部がSerre上界に達することを発見した。さらにJacobian分解を計算し、完全分解することが分かった。Jacobian分解を具体的に決定できたことにより、Serre上界に達する必要十分条件を与えることに成功した。
一方、Edgeの6次曲線がSerre上界に達することが分かっていたが、本年度そのJacobianを種数2の超楕円曲線に分解することに成功した。超楕円曲線の定義式を具体的に与えることができた。
Wiman曲線とEdge曲線のJacobian分解を具体的に与えることができたので、コンピュータ探索の計算量が大幅に減り、広範囲での実行が可能となった。数式処理システムMagmaで探索を実行して有理点を多数持つ新しい代数曲線を発見し、データベースhttp://www.manypoints.org/ の種数6の場合を多く更新できた。
Wiman曲線は1895年にWimanが発見した6次曲線だが、符号理論という新しい視点から観測することにより、新しい数学の定理を発見できた。今後も情報通信分野から要請を鑑みながら、代数曲線の未知の性質を研究して行きたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Wiman曲線の一部について、Jacobianを完全分解させたので、Serre上界に達する必要十分条件が、予定よりすっきりとした結果となった。一方でEdge曲線について、そのJacobianを完全分解させるのに至っていないが、種数2の超楕円曲線に分解させることができたので、コンピュータ探索の計算量が減り、新しい代数曲線を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
Wiman曲線、Edge曲線以外に探索範囲を広げて、Serre上界に達する代数曲線の具体例を増やす。そしてそれらの代数曲線のJacobian分解を求めることで、Serre上界に達する条件を与えることができる。さらに効率のよいアルゴリズムでコンピュータ探索し、新しい代数曲線を発見していく予定である。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
本年度は初年度のためコンピュータ探索用にワークステーションを購入予定であった。けれども研究室にあった古いものが持ち堪えたため、購入せずに研究ができた。また年度初めに探索用の効率よいアルゴリズムを発見したので、数式処理システムも新規購入する必要がなかった。
古いワークステーションが限界に来ているので、次年度は新規購入する計画である。また幾つかの数式処理システムを購入する予定である。
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