2015 Fiscal Year Research-status Report
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25800090
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| Research Institution | Shiga University of Medical Science |
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Principal Investigator |
川北 素子 滋賀医科大学, 医学部, 准教授 (80467373)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 符号理論 / 代数曲線 / 有理点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
効率のよい符号を構成するために、有理点を多数持つ代数曲線を具体的に与えることが一つの大きな研究課題である。実際代数曲線の有理点の研究は昔からある数学の研究テーマだが、未解決問題が多く残されている。この状況は本研究を始めてから殆ど変っていない。代数曲線の有理点数についてSerre上界がある。Serre上界に達する代数曲線の中で、最大曲線についての研究成果は多くあるが、そうでないものについて具体例があまり知られていない。本研究はそのような代数曲線を発見し、さらに性質の解明を目指している。
本年度は前々年度から研究していたWiman曲線とEdge曲線を含む6次曲線のクラスに注目した。試行錯誤の結果Jacobianを種数2の超楕円曲線に分解することに成功した。Jacobian分解を具体的に与えたことで、コンピュータ探索の計算量が大幅に減り、適度な範囲まで実行可能となった。またJacobain分解に現れた種数2の超楕円曲線について、高速な探索アルゴリズムを構築して、数式処理システムMagmaを用いてコンピュータ探索を実行した。その結果、有理点を多数持つ新しい代数曲線を発見し、データベースhttp://www.manypoints.org/ の種数6の場合を更新できた。シンプルな定義方程式を持っているので、大変興味深い。今後これらの代数曲線の性質を解明することで、探索範囲を広げる手掛かりが得られると期待できる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Wiman曲線とEdge曲線に着目することで、有理点を多数持つ代数曲線について新しい成果を得ることが出来た。前年度の研究から範囲を広げて、新しい有理点を多数持つ代数曲線を得た。この方向に研究を深めることでより一般的な結果が得られることを示唆していると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後二つの方向で研究を推進する予定である。一つ目は研究実績に記載した新しい代数曲線の性質を詳しく調べて行くことである。二つ目はJacobian分解を進めることで探索を広げて新しいSerre上界に達する代数曲線を発見することである。最終的にはそれら全てについてその性質を解明したい。
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