2014 Fiscal Year Research-status Report
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25800094
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| Research Institution | Oita University |
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Principal Investigator |
高阪 史明 大分大学, 工学部, 准教授 (20434003)
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2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 凸解析 / 不動点理論 / 関数解析 / 非線形作用素 / 集合値写像 / 凸関数 / バナッハ空間 / ヒルベルト空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、非線形問題を解く上で大切な役割を果たす非線形写像の不動点を反復列を用いて近似する方法について研究し、バナッハ空間の幾何学的定数やfirmly nonexpansive type写像の不動点定理などを用いて定まるそれぞれの反復列が非線形写像の不動点に収束することを示した。
以下では、今年度に発表したそれぞれの論文の概要を説明する。
1. バナッハ空間におけるfirmly nonexpansive like写像の可算族に対する共通不動点問題について研究し、2-一様凸定数を用いた非線形写像列の構成方法を提案した。さらに、この写像列によって定まる反復列が、与えられた写像族の共通不動点に収束することを示した。応用として、極大単調作用素の零点近似定理と凸集合族の共通点近似定理を得た。
2. バナッハ空間における有界集合上で定義された極大単調作用素の零点近似法を研究した。ここでは、作用素のリゾルベントがfirmly nonexpansive type写像であることに着目し、不動点定理によって陰的に定まる反復列がノルムが最小となる零点に強収束することを示した。
3. ヒルベルト空間におけるquasinonexpansive型の非線形写像列から定まる反復列に対する弱収束定理を得るとともにその応用を議論した。特に、ハイブリッド写像の平均によって定まる写像列に主結果を適用することで幾つかの不動点近似定理を得た。
4. ヒルベルト空間の非拡大写像に対するRayの定理 [Trans. Amer. Math. Soc. 258 (1980), 531-537] の簡潔な別証明を与えた。ここでは、一様有界性定理と一つの距離射影を用いることにより、ヒルベルト空間の任意の非有界な閉凸集合において、その上で定義された不動点を持たないfirmly nonexpansive写像を構成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度の研究において考察した非線形写像に対する不動点近似定理が得られ、その応用として、ヒルベルト空間やバナッハ空間における非線形問題の解の近似定理を示すことができたことにより、応用上の問題点が整理され、次年度以降の研究を進める上での道筋が見えて来たため。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度は、非線形写像の不動点の近似法と不動点の存在性について研究を行う。研究を推進させるために、それぞれの非線形問題への応用研究を個別に行い、解の存在性や近似方法を議論する上で本質的な役割を果たす不等式や空間の幾何学的条件を導出する。それらの考察を踏まえ、写像やその定義域に対する条件を緩和した上で不動点の存在定理や近似定理を得ることができないか検討する。
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