密度勾配依存応力を持つ非線形連続体の運動に対する数学解析的・数値解析的研究

2014 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 25870005
• Research Institution: Hokkaido University
• Principal Investigator: 中野 直人 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 研究院研究員 (30612642)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2016-03-31
• Keywords: 偏微分方程式 / 常微分方程式 / 単純剪断流 / 特異定常解 / 数値解析 / 連続体モデル / 正則化方程式

Outline of Annual Research Achievements

密度勾配に依存する応力を持つ連続体モデルは，密度函数と速度ベクトルを未知函数にもつ非線型偏微分方程式系によって与えられ，その主要項に密度勾配に関する退化非線型項を含んでいる．25年度に引き続き，簡単な流れの場合に限定し，空間1次元問題における非自明な定常化であるサイクロイド解に関する解析を数値的におこなった．この方程式系の非定常解は，初期値によっては有限時間内に特異点（密度函数の尖り）が発生することが予備計算で得られているが，それが低解像度に起因する可能性も否定できない．したがって，解の特異性を特徴付けるためにその尖りの突端部分の詳細な解像を試みた．
方程式系を速度場に関する重ラプラシアンにより正則化した．正則化方程式系の離散化は，空間方向は擬スペクトル法，時間方向は4次ルンゲ＝クッタ法を用いた．この方程式系の時間発展方程式の解を，特異性が発生すると思われる時間まで数値積分した．本モデル方程式は硬い方程式のため，時間刻みを通常の流体モデルより小さくせねばならず，時間方向に4次ルンゲ＝クッタ法を用いると倍精度では丸め誤差の影響が無視できない．このため，京都大学大学院情報学研究科の藤原宏志助教の開発された多倍長計算ライブラリexflibを用いた多倍長演算により計算精度を確保した．また，この数値計算は，計算時間と計算量がかさむため，京都大学学術情報メディアセンターのスーパーコンピュータ共同研究制度（若手奨励枠）を利用して実施した．これにより，空間離散化で用いた擬スペクトル法における切断波数を増やすことで，数値解の列はあるグラフに漸近することが確認できた．これはある特異解に収束することを示唆しており，正則化方程式系の特異的な性質を解像できたと言える．本解析では，偏微分方程式や数値解析の専門家との議論がその進展においてとても有効であった．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

特異な解の解像は解析的にも数値的にも困難な問題ではあるが，正則化方程式の非定常問題の特異性についての解析が進展し，本研究の主たる研究対象である密度勾配モデルの理解の深化につながることができた．このことを踏まえると，本研究課題はおおむね順調に進展していると言える．

Strategy for Future Research Activity

これまでに得られた数学解析の結果と数値解析の結果から，この特異な解（サイクロイド解など）の解析をさらに進める．正則化方程式系の適切性の解析，正則化パラメータ0への極限の問題などへのアプローチを，数学解析と数値解析の両側面から，本研究課題の最終年度として総合的に検討する．数値計算にはスーパーコンピュータの利用を検討し，できなければ計算環境の充実化のための機器購入も考慮する．また，効率的に研究が推進できるように，偏微分方程式の数学解析と数値解析の専門家との議論を十分に確保することも念頭におく．