2015 Fiscal Year Annual Research Report
密度勾配依存応力を持つ非線形連続体の運動に対する数学解析的・数値解析的研究
| Project/Area Number |
25870005
|
|---|
| Research Institution | Hokkaido University |
|---|
Principal Investigator |
中野 直人 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 研究院研究員 (30612642)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
|
| Keywords | 偏微分方程式 / 常微分方程式 / 単純剪断流 / 特異定常解 / 数値解析 / 連続体モデル / 線型安定性 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究において対象となる応力テンソルに密度勾配依存性を課した連続体モデルは，その密度勾配に関する非線型性より，本モデル特有の性質を持つサイクロイド解（密度函数がサイクロイド曲線をスケールしたグラフで表示される解）が非自明な定常解として，空間1次元問題や平面単純剪断流のときに現れるのであった．この系では滑らかな初期値から出発しても，解が有限時間内に特異点を持つことを正則化方程式系に対する多倍長演算によって考察した．これによって，特異的な定常解の存在意義を状況証拠的にではあるが示すに至った．これを受けて，自明な定常解（密度一定解）の線型安定性の数値解析的研究をおこなった．流れは単純化し，特にCouette流に問題を限定して，密度一定解の周りで線形化して擾乱の満たす方程式系を導出した．この場合その方程式系の係数は空間変数に依存するが，定常速度場を用いたLagrange座標によって空間変数を取り替えることで，時間変数のみに依存する係数の線型の問題に帰着することが可能だ．さらにこれに対し，流路幅方向はChebyshev展開，流れ方向には周期性を仮定してFourier級数展開を適用することで，各モードに対する線型常微分方程式系を得ることができる．ここでは解析的にその系の固有値を計算することができ，初期時刻付近で不安定となるモードとパラメータの組を見出すことができた．このパラメータサーベイでは京都大学学術情報メデイアセンターのスーパーコンピュータ共同研究制度（若手奨励枠）を利用して実施した．また，本研究から副次的に得られた数値解析的研究が進展し，解析的な解の表示公式や非定常解の数値計算スキームの理論を基にする数理モデリング手法を考案するに至った．これは主研究におけるサイクロイド解の現れるモデルの特徴付けに関して相補的な役割を果たしており，今後の進展も大いに期待できる．
|
