2013 Fiscal Year Research-status Report
異なる次元の場の量子論の等価性に関する数理構造の直接解明
| Project/Area Number |
25870159
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
立川 裕二 東京大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10639587)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 超対称性ゲージ理論 / 数学と理論物理の交流 |
|---|
| Research Abstract |
研究計画においては、第一年度の平成二十五年度では、超対称局所化の手法の一般的理解を目標としていた。一般的な理解の前に、個別例での着実な理解が必要であるが、二次元の平坦なトーラスにおける局所化計算が、次元も低く、曲がっていないため簡単である筈が、まだなされていないことがわかった。そこで、Kavli IPMU の堀、Eager および Stony Brook 大の Benini と共に、この解析をなし、二本の論文にまとめた(第一篇は査読出版済み、第二篇は査読済み出版中)。この結果、平坦な方向が二つ以上あると局所化は却って困難であることが判明した。これは局所化手法の一般的理解の為には思いがけない難点である。また、局所化のもう一例として、4次元球面を対称性で割った、4次元射影空間でのゲージ理論を考察しているが、これも技術的な困難があり、研究は継続中である。
このため、予定から方針を少々変更して、いろいろと間接的な方向から六次元理論を調べることを行った。ひとつは、六次元理論が、六次元時空のホモロジー群にどのように依存するかの研究である。六次元理論の磁場と電場が、量子的な非可換性をもち、その詳細を調べた(査読済み、出版中)。また、これまでは通常六次元理論として右巻き超対称性が二つ、左巻き超対称性が無いモデルが主に研究されていたが、研究の視点を広げるため、右巻き超対称性が一つ、左巻き超対称性の無いモデルの研究を開始した。こちらは現在研究中であるが、結果を近々発表予定である。
以上のオリジナルな結果は、理論物理のみならず、純粋数学の観点からも興味深いものであり、実際申請者はいろいろな数学の研究会から招待をうけ、研究結果について講演を行った。また、最新の研究だけでなく、ここ二十年の進展をまとめた物理学科大学院生むけの集中講義を立教大学において行い、その講義録を英語でまとめた。これは査読が済み、出版予定である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上記研究実績にも記入したが、超対称局所化を一般的な時空上で行うことには申請時に想定していたよりも困難があることがわかった。平らな二次元のトーラス上においてすら、高次元の積分領域上での発散の回避を慎重に行わねばならない。実際、申請者は、ある一週間この問題ばかり連続して考えすぎ、一度夢の中で擬人化されたその問題に追い回されたが、それでも解決できず、共同研究者の助けが必要であった。
また、分配関数に共通してあらわれる Cherednik 代数の構造に関しては、直接的な進展は申請者自身としては無かった。しかし、関連して、六次元の理論の持つ面演算子の交換関係が、コンパクト化後の二次元面上に生じる線演算子の交換関係としてどのようにあらわれるか、という問題は IPMU の渡辺と共に考察を行っており、まだ出版論文にはまとまっていないものの、各所の研究会で途中経過を報告できる程度にはなっている。
この二点を総合して、計画書に書いた予定通りの進展は無かったが、計画書に書いた予定と多少異なった方向の進展は合ったと言える。であるから、計画書にてらして「そちらの方向に射影した」進展は遅れがちだと言うべきであろうが、進展の絶対値は予定程度であったと言って間違いではないと考える。
|
| Strategy for Future Research Activity |
すでに研究計画予定において、一年目の研究の進展に応じて二年目以後の研究をどのように替えてゆくか二通りの展望を述べてあったが、その二つ目の方向性を探求する予定である。すなわち、元々は右巻き超対称性が二つ、左巻き超対称性が無い理論(所謂 N=(2,0) 理論)を主な研究対象と考えていたが、それに留まらず、右巻き超対称性が一つ、左巻き超対称性の無い理論(所謂 N=(1,0) 理論)の研究に視点を広げようと考える。前者については、どのような種類の理論があるかの分類が既に知られているが、後者については、どのような種類の理論があるかが決定されておらず、また、存在の知られている理論に関しても、殆どその性質が知られていない。
そこで、今年度は、これら N=(1,0) 理論についての理解を深めることを目標とする。このクラスの理論として、長らく存在の知られているものに、例外群の対称性を持ったものがあるが、まずは、その理論自身の性質、また、それをいろいろな二次元空間にコンパクト化して得られる4次元の超対称理論の性質を調べる予定である。この問題に関しては、先行研究として、平坦な二次元トーラスにコンパクト化した場合の解析がいくつかなされているが、曲がって穴の開いた二次元面に於いてこの理論を考察した論文はまだ皆無である。
N=(2,0) 理論に関しても、過去5年の爆発的な進展は、Gaiotto によって、曲がって穴の開いた二次元面にコンパクト化して得られる4次元超対称理論が決定されたことがきっかけになっている。であるから、N=(1,0) 理論に対しても類似の進展があれば、それを突破口として、大きな発展が期待出来ると妄想するのは甘いであろうか。
|
| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
夏に研究発表のため予定通り一ヶ月間のアメリカ出張を行ったが、幸い出張中の滞在費をアメリカ側に出してもらえた為、こちらからは航空券代のみの負担で済んだ。これにより、科研費からの支出を抑えることができた。また、研究が計算機を沢山つかう側面まで進展しなかったため、コンピュータを新調することを控えたのも原因である。
今年度も世界各地に研究発表のため出張予定であるが、海外からの旅費サポートがあるばあいも多少断って、科研費から使うことは可能である。また、今年度こそ、計算機を沢山つかう側面まで研究を進展させ、あらたなコンピュータを買い、そこで重い計算を遂行したいと考えている。
|
