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2013 Fiscal Year Research-status Report

トーラス上の 4-連結グラフのハミルトン性

Research Project

Project/Area Number 25871053
Research Category

Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

Research InstitutionNational Institute of Informatics

Principal Investigator

小関 健太  国立情報学研究所, ビッグデータ数理国際研究センター, 助教 (10649122)

Project Period (FY) 2013-04-01 – 2017-03-31
KeywordsHamiltonian cycles / Tutte cycles / Graphs on surfaces / Forbidden subgraphs
Research Abstract

平成25年度は,グラフのハミルトン性を示すための重要な構造である Tutte 閉路に関しての考察を主に行った.任意の 2-連結平面グラフが Tutte 閉路を持つことは,1956年に Tutte によって証明されたが,それ以来,Tutte 閉路の存在に関する様々な結果が示されており,その証明手法も徐々に進化してきた.そして,交付申請書にも記したように,私はその既存の存在証明手法を大きく改良し,いくつかの結果を示している.平成25年度の大きな研究成果はその証明手法をさらに改良したことであり,その結果,「13.研究発表・雑誌論文」2つ目の論文を執筆している.この論文では,任意の 2-連結平面グラフにおいて,指定した 2つの 2頂点集合 X, Y に対し,X と Y を結ぶ 2本の内素な道でその和集合が Tutte 性を持つもの,の存在を示しており,これは上記の Tutte の定理の拡張となっている.
また,それ以外にも 2つの結果を得て,論文を執筆した.これらは共に,禁止部分グラフに関連するものであり,交付申請書の研究計画の (III) で記した「禁止部分グラフによって記述できるグラフにおける Tutte 閉路 (道)」への応用を考察するためのものである.「13.研究発表・雑誌論文」1つ目の論文では,禁止する部分グラフを変化させた際に,そのグラフクラスがどのように変化するか,に注目しており,そのようなグラフクラスが "結果的に同じ,または非常に近い'' ということが起こるための十分条件を与えている.また,「13.研究発表・雑誌論文」3つ目の論文では,禁止部分グラフによるグラフクラスの中で代表的な claw-free グラフに注目し,その辺彩色問題の結果を示している.
どちらの論文でも,禁止部分グラフの特徴をつかんでおり,Tutte 閉路への応用を期待している.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

平成 25年度は,研究対象の Grunbaum, Nash-Williams 予想の解決のために,Tutte 閉路のさらなる改良が目標であった.これに関しては「13.研究発表・雑誌論文」2つ目の論文によりなされている,と考えている.また,その他にもいくつかの結果を得ており,論文を執筆中である.
加えて,Tutte 閉路の考察のための研究対象であった禁止部分グラフに関しても 2つの論文を出版している.
直接的に Tutte 閉路 (道) を扱うだけでなく,Grunbaum, Nash-Williams の対象である閉曲面上グラフに関してもその特徴を考察しており,いくつかの結果を得た.
また,平成25年度のいくつかの会議において,上記の結果等を招待講演者として述べる機会もあり,その結果,自分の研究を広めるとともに他者の関連する研究・結果を得ることもでき,研究課題のさらなる広がりの手掛かりを得た.
このように,研究目的達成のための多くの結果を平成25年度に得ており,そのために区分を 「(1) 当初の計画以上に進展している」とした.

Strategy for Future Research Activity

平成25年度では Tutte 閉路 (道) の改良と,研究課題である閉曲面上のグラフ,禁止部分グラフに注目した研究を行った.これらは「11.現在までの達成度」に記したように大きな進歩であるが,その考察は Grunbaum, Nash-Williams 予想の解決のためにはまだ不十分であると考えている.したがって,今後は平成25年度の研究を継続し,Tutte 閉路 (道) のさらなる改良を目指すとともに,閉曲面上のグラフ,禁止部分グラフの特徴に関しても考察する予定である.

Expenditure Plans for the Next FY Research Funding

平成25年度は何人かの研究協力者を訪ね長期滞在する予定で旅費を申請したが,研究課題遂行のための個人研究において予想以上の成果が見られたため,一部の長期滞在の前にそれらの結果をまとめることを優先した.したがって,平成25年度の旅費の予算の一部を残し,平成26年度使用額に回すことにした.
平成26年度は個人研究の成果のまとめがほぼ終わったことから,申請し当初に予定していたよりも多く・長くの海外滞在をする予定である.したがって申請時より多くの旅費が必要となることが見込まれ,平成25年度の未使用額をこれに充てる.

  • Research Products

    (17 results)

All 2014 2013 Other

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (13 results) (of which Invited: 3 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] 2-edge-Hamiltonian-connectedness of 4-connected plane graphs2014

    • Author(s)
      K. Ozeki, and P. Vrana
    • Journal Title

      Europ. J. Combin.

      Volume: 35 Pages: 432--448

    • DOI

      10.1016/j.ejc.2013.06.033

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] The Chromatic Index of a Claw-free Graph Whose Core has Maximum Degree 22014

    • Author(s)
      S. Akbari, M. Ghanbari, and K. Ozeki
    • Journal Title

      Graphs and Combin.

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Forbidden Subgraphs Generating Almost the Same Sets2013

    • Author(s)
      S. Fujita, M. Furuya, and K. Ozeki
    • Journal Title

      Combin. Probab. Comput

      Volume: 22 Pages: 733--748

    • DOI

      10.1017/S0963548313000254

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Spanning trees with vertices having large degrees2014

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      The 3rd Taiwan-Japan Conference on Combinatorics and its Applications
    • Place of Presentation
      National Chiayi University (Taiwan)
    • Year and Date
      20140322-20140322
    • Invited
  • [Presentation] 指定した頂点の次数が高い全域木2014

    • Author(s)
      小関健太
    • Organizer
      日本数学会2014年度年会 応用数学分科会
    • Place of Presentation
      学習院大学 (日本)
    • Year and Date
      20140316-20140316
  • [Presentation] Degree constraint spanning trees in Graphs2014

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      International Workshop on Discrete Structures (IWODS 2014)
    • Place of Presentation
      National University of Science and Technology (Pakistan)
    • Year and Date
      20140305-20140305
    • Invited
  • [Presentation] 射影平面上のグラフの本型埋め込み2014

    • Author(s)
      小関健太
    • Organizer
      田澤先生退職記念研究集会
    • Place of Presentation
      近畿大学 (日本)
    • Year and Date
      20140221-20140221
  • [Presentation] グラフのハミルトン閉路と次数を制限した全域木2013

    • Author(s)
      小関健太
    • Organizer
      2013年度 応用数学合同研究集会
    • Place of Presentation
      龍谷大学 (日本)
    • Year and Date
      20131220-20131220
    • Invited
  • [Presentation] An extension to 3-colorable or Eulerian triangulations2013

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      The Third Bertinoro Workshop on Algorithms and Graphs
    • Place of Presentation
      Bertinoro (Italy)
    • Year and Date
      20131216-20131216
  • [Presentation] Characterization of $K_{2,4}$-minor-free graphs2013

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      25th Workshop on Topological Graph Theory (TGT25)
    • Place of Presentation
      Yokohama National University (日本)
    • Year and Date
      20131121-20131121
  • [Presentation] Class 1 グラフになるためのコアの条件2013

    • Author(s)
      小関健太
    • Organizer
      日本数学会2013年度秋季総合分科会 応用数学分科会
    • Place of Presentation
      愛媛大学 (日本)
    • Year and Date
      20130924-20130924
  • [Presentation] Toughness and degree constraint spanning trees2013

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      Graph Theory Conference in honor of Yoshimi Egawa on the occasion of his 60th birthday
    • Place of Presentation
      Tokyo University of Science (日本)
    • Year and Date
      20130913-20130913
  • [Presentation] 4-連結ライングラフのハミルトン性と 3-正則グラフの長い閉路2013

    • Author(s)
      小関健太
    • Organizer
      離散数学とその応用研究集会 2013
    • Place of Presentation
      山形市保健センター (日本)
    • Year and Date
      20130809-20130809
  • [Presentation] A necessary and sufficient condition for graphs on a surface to have a cyclic 4-coloring2013

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      Graph Embeddings and Maps on Surfaces 2013
    • Place of Presentation
      Congress Centre Smolenice (Slovakia)
    • Year and Date
      20130718-20130718
  • [Presentation] A large k-tree in connected $K_{1, k+1}$-free graphs2013

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      Seventh Czech-Slovak International Symposium on Graph Theory, Combinatorics, Algorithms and Applications
    • Place of Presentation
      Univerzitna nemocnica Louisa Pasteura Kosice (Slovakia)
    • Year and Date
      20130709-20130709
  • [Presentation] A cyclic 4-coloring of graphs on a surface2013

    • Author(s)
      K. Ozeki
    • Organizer
      Geometric and topological graph theory 2013
    • Place of Presentation
      University of Bristol (England)
    • Year and Date
      20130417-20130417
  • [Remarks] Kenta Ozeki

    • URL

      http://comb.math.keio.ac.jp/ozeki/

URL: 

Published: 2015-05-28  

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