2014 Fiscal Year Annual Research Report
ディリクレ形式によるマルコフ過程の確率解析とその応用
| Project/Area Number |
26247008
|
|---|
| Research Institution | Tohoku University |
|---|
Principal Investigator |
竹田 雅好 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30179650)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
上村 稔大 関西大学, 工学部, 教授 (30285332)
桑田 和正 東京工業大学, 理工学研究科, 准教授 (30432032)
日野 正訓 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40303888)
桑江 一洋 熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (80243814)
会田 茂樹 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90222455)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
|
| Keywords | ディリクレ形式 / 対称マルコフ過程 / ファインマン・カッツの公式 / 特異空間上の幾何解析 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
ディリクレ形式にポテンシャル項を加えてできる正定値シュレディンガー形式に対する臨界性・劣臨界性の概念は、h-変換をとおしてディリクレ形式の再帰性・過渡性として定義される。ディリクレ形式が再帰性・過渡性を持つ場合にそれぞれで成立する関数不等式から、h-変換をとおしてシュレディンガー形式の満たすべき関数不等式が導かれる。この結果を用いて、強フェラー性を持つ既約な対称マルコフ過程の生成するディリクレ形式にグリーン緊密性を持つ測度を加えて定義される正定値シュレディンガー形式に対しては、臨界性・劣臨界性の判定を時間変更過程のスペクトル下限が1に等しいか大きいかで与えられることをが示せた。この結果は、Illinois J. Math. に掲載された。今年度はさらに最大値の原理、リュービル性についても時間変更過程のスペクトル下限で条件を与えることができた。また対称安定過程の場合に時間変更過程の最小固有値の漸近挙動を調べることで、測度をポテンシャルに持つファインマン-カッツ汎関数の精緻な漸近挙動を与えた。ポテンシャルが測度の場合は、そのルートを考えることは不可能で、新しい方法が必要になる。我々は、ディリクレ形式の時間変更理論を用いて漸近挙動を示した。以上、最初の2つのテーマについては専門誌に投稿中である。
ジャンプ型マルコフ過程のの内在的距離を用いた保存性・脱出レートの導出、反射壁確率微分方程式のWang-Zakai近似の精密化、ディリクレ形式に付随する距離構造を用いた幾何解析・フラクタルをはじめとする特異空間上の解析などで、分担者・連携研究者の研究論文・研究集会での講演が活発に行われた。特に、ジャンプ型ディリクレ形式における内在距離を用いた解析は従来なかったもので、ディリクレ形式に付随する確率解析の構築に大きな役割を果たすことが期待される。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
あるクラスの対称マルコフ過程の生成するディリクレ形式は基底をもつことが従来の研究で分かっていた。今年度はその応用として、シュレディンガー形式の臨界性理論構築を行い、時間変更過程のスペクトルの下限で臨界性・劣臨界性・優臨界性の判定条件を与えることができた。その成果は2編の論文として、アメリカ数学会出版のTrans. Amer. Math. Soc. とIllinois J. Math. から出版予定である。さらに本年度の研究では、シュレディンガー作用素に関連する最大値の原理・リュウビル性に関する応用についても考察し、オーベルバッハ研究集会で講演の機会をえた。特に最大値原理に関する結果は、時間変更過程のスペクトルの下限を用いることで、非有界領域の場合や作用素がジャンプを含む非局所な場合にも適用できる結果になっている。さらに、初期値に関する一様な大偏差原理や半群のコンパクト性、固有関数の有界連続性などの結果は、基底の存在のみ示せていた従来の結果と比して強い結果となった。吸収壁ブラウン運動とブラウン運動を正のファインマン・カッツ汎関数による変換により構成されるマルコフ過程について、コンパクト性の予備的研究を行ったが、従来より簡明な確率論的証明を与えることができた。コンパクト性に関する話題は、ジャンプをもたない拡散過程の生成作用素に対する結果が殆どであるが、対称性は仮定するもののジャンプを許す場合にも適用できる。時間変更過程の生成作用素は非局所的な境界条件を伴うため、コンパクト性の証明は困難であることが予想されるが、確率論的証明によるコンパクト性の導出とその応用については、来年度以降の研究で明らかにしたい。その他、幾何解析と輸送問題、ランダム媒質中の極限定理、ジャンプマルコフ過程の内在距離とその応用に関して、ディリクレ形式の応用範囲を大きく広げる成果があった。
|
| Strategy for Future Research Activity |
対称マルコフ過程の性質として、一様な大偏差原理、スペクトル半径のLpー独立性についての成果を具体的な確率モデルに応用していきたい。ディリクレ形式の変分公式、すなわちドンスカー・バラダーンのI－関数とディリクレ形式の同定は、ディリクレ空間における関数不等式をえるために重要である。時間変更過程やファインマン・カッツ汎関数による変換で構成される従属過程に対して変分公式を示すためには、状態空間を一般化してラドン空間にする必要がある。マルコフ過程も右過程と呼ばれるハント過程より広いクラスのマルコフ過程を扱う必要がある。今年度は、変分公式の一般化を行いたい。
国際研究集会「Stochastic Analysis and Its Applications」（平成２７年８月３１-９月４日）を東北大学で開催する。この研究集会は, この日独シンポジウムの後継として、また伊藤清先生生誕百周年の国際会議のサテライト会議として日独の枠を超えて開催する。本課題の４つのテーマに関する若手研究者を中心に招聘し、新たな展開を探る。特に、二国間交流事業で既に共同研究の進んでいる分担者、桑田、連携研究者、河備、塩沢, 楠岡らは共同研究を実施する。
確率論シンポジウムは、１２月に岡山大学で開催予定で、確率論の話題に関する大規模な国内研究集会であり、当該研究課題の成果を多数の確率論研究者に伝えることのできる場となる。他の確率論のテーマとのつながりを探り、当該研究の進展に繋げることを目的とする。分担者全員に参加を促し、本研究に関連する研究成果をあげた若手研究者・大学院生の旅費援助を行う。
|
