2017 Fiscal Year Annual Research Report
Stochastic analysis of Markov processes by Dirichlet forms and its applications
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26247008
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
竹田 雅好 東北大学, 理学研究科, 教授 (30179650)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
上村 稔大 関西大学, システム理工学部, 教授 (30285332)
桑田 和正 東北大学, 理学研究科, 教授 (30432032)
日野 正訓 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (40303888)
桑江 一洋 福岡大学, 理学部, 教授 (80243814)
会田 茂樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (90222455)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 対称マルコフ過程 / ディリクレ形式 / 準定常分布 / エルゴード定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
対称マルコフ過程に対して、既約性、強フェラー性、緊密性なる三つの性質をもつクラス(クラス(T)とよぶ)を導入し、その性質を調べてきた。特に、クラス(T)に属するマルコフ過程が生成する半群はコンパクト作用素となり、全ての固有関数が有界連続となることが示せた。さらに保存性を仮定すると、非常に強いエルゴード性、すなわちコンパクト集合の補集合からの脱出時刻が指数可積分性をもつことが示せ、この事実を用いて初期値に関する一様なドンスカー・ヴァラダーン型大偏差原理が成立することを証明した。これらの結果から、吸収壁マルコフ過程がクラス(T)に属する場合には基底の存在が分かり、基底を用いたh-変換によって構成される対称マルコフ過程は、クラス(T)に属する保存的な対称マルコフ過程になることが確認できる。この応用として、クラス(T)に属する保存的でない対称マルコフ過程に対して、準定常分布の存在と一意性が示せた。一意性は基底の有界連続性と福島のエルゴード定理から従う。さらに基底が可積分であることを示すことで、準定常分布を具体的に与えることができた。基底の可積分性はクラス(T)から導かれるが、保存的でない場合は対称化測度は有界測度とは限らないため、自明ではない。実際、フェラーの意味で脱出境界をもつ一次元拡散過程はクラス(T)に属するが、対称化測度は無限の測度をもつ。ここでは、前年度までの研究で導入した拡張されたシュレディンガー空間の概念とそれを用いた基底に関する等式が重要な役割を果たす。さらにマルコフ半群の内在的超縮小性を仮定するとヤグロム極限になっていること示した。例えば、有界領域上の吸収壁対称安定過程に対しては内在的超縮小性が分かり、ヤグロム極限の存在と一意性が従うが、必ずしも有限の測度をもつとは限らない領域の上の吸収壁安定過程についてもヤグロム極限の存在と一意性が示せる例を発見した。
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| Research Progress Status |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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Research Products
(19 results)
