2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26280004
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
室田 一雄 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (50134466)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 最適化理論 / 数理工学 / 情報基礎 / アルゴリズム / 経済理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
離散凸解析を工学・数学・社会科学など諸分野における共通の方法論として確立すべく，以下の成果を出した．
Ｌ凸関数とＭ凸関数の概念は，離散変数関数と連続変数関数の両方に定義されている．本研究では，連続変数のＬ凸／Ｍ凸関数が多面体的なＬ凸／Ｍ凸関数によって広義一様近似できることを共役性定理を利用して証明した．
前年度に理論的枠組みとアルゴリズムを構築したDC計画問題（２つの凸関数の差で表される関数を最小化する問題）の離散版について，2つのM凸集合関数の差を最小化する問題のNP困難性を示した．実際には，2つのマトロイドランク関数の差を最大化する問題がNP困難であるという，より強い結果を示している．
双有向森問題に関しては，完全双対整数性をもつ線形計画表現とM凸劣モジュラ流問題による表現がある．本研究では二つの表現に付随する双対最適解の間の関係を明らかにすることにより，多面体的組合せ論と離散凸解析という二つのアプローチを比較した．２部グラフにおける安定結婚問題をポリマトロイド対に拡張して，安定割当の概念を導入して，その存在を証明すると共に，安定割当を見出す強多項式時間アルゴリズムを設計した．また，劣モジュラ関数や双劣モジュラ関数の一般化に当たるk劣モジュラ関数の最大化問題に対して，従来の近似比を改善する近似アルゴリズムを設計した．また，目的関数をk劣モジュラ関数に緩和することで最適化アルゴリズムを設計する手法について，k劣モジュラ緩和可能関数の特徴付けとk劣モジュラ緩和を構成する組合せ的アルゴリズムを得た．
複数の不可分財に関するオークションにおける価格付けの問題について，離散凸解析の観点から研究を行った．ある仮定の下で，財の価格付けの問題がL凸関数の最小化問題として定式化できることを示すと共に，繰り返しオークションの反復回数を解析した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は，離散凸解析を工学・数学・社会科学など諸分野における共通の方法論として確立する試みであり，離散凸解析の理論と応用を（１）連続・離散軸，（２）凸・非凸軸，（３）分野横断軸，の３つの観点から整理することによって，個々の数理的技法や応用諸問題の相互関係を明確にし，「数理手法の開発」，「応用の開拓」，「ソフトウェアの整備」の３つの面で新たな展開を図ってきた．具体的には，以下の通り研究を推進し，研究成果を発表し，いずれもおおむね順調に研究が進展している．
まず，「数理手法の開発」においては，双対性と共役性に注目して，様々な組合せ最適化問題に対するアルゴリズムの研究を進めた．劣モジュラ関数や双劣モジュラ関数の一般化に当たるk劣モジュラ関数の最大化問題に対して，従来の近似比を改善する近似アルゴリズムを設計した．また，目的関数をk劣モジュラ関数に緩和することで最適化アルゴリズムを設計する手法について，k劣モジュラ緩和可能関数の特徴付けとk劣モジュラ緩和を構成する組合せ的アルゴリズムを得ることができた．その一部については学会や論文誌で発表した．
次に，「応用の開拓」については，複数の不可分財のオークションにおける価格付けの問題について，離散凸解析の観点から研究を行った．ある仮定の下で，財の価格付けの問題がL凸関数の最小化問題として定式化できることを示すと共に，繰り返しオークションの反復回数を解析し，当初計画通り，数理経済学，オークション，取引ネットワークへの離散凸解析の応用研究が進展した．
最後に，「ソフトウェアの整備」については，これまでに引き続き，離散凸関数の応用に関するデモンストレーションを整備して，ＷＥＢ上に公開してきた．
以上より，現在までの達成度はほぼ予定通りであり，研究計画は順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に引き続いて，「数理手法の開発」，「応用の開拓」，「ソフトウェアの整備」の３つの側面に応じて，様々なテーマについて研究を推進し，研究成果を発表する．とくに，進度が緩やかな部分に気を付け，重点をおいて研究を進める予定である．より具体的には以下の計画で研究を進める．
「数理手法の開発」においては，スケーリング可能性と近接定理の側面から整凸性の意義をより詳細に解明する．「応用の開拓」においては，社会工学，在庫理論における離散凸解析の応用研究について，より詳細に数学的に整理することを試みる．「ソフトウェアの整備」においては，前年度に引き続いて，離散凸関数の応用に関する様々なソフトウェアとデモンストレーションを整備して，ＷＥＢ上に公開する．
この研究の遂行のために，以下の連携研究者から協力を仰ぐ予定である．田村明久氏（慶應義塾大学）には，社会工学における離散凸性の研究をお願いする．岩田覚氏（東京大学）には，離散凸解析のアルゴリズムの設計について協力を仰ぐ．塩浦昭義氏（東京工業大学）には，離散凸理論のオークションへの展開について研究を行っていただく．森口聡子氏（首都大学東京）にはアルゴリズムの実現と応用の開拓において協力してもらう．平井広志氏（東京大学）には，離散凸概念の一般化に関する研究をお願いする．小林佑輔氏（筑波大学）には，グラフにおける離散凸性の検討をしてもらう．高澤兼二郎氏（法政大学）には双対性に関する詳細な検討をしてもらう．岩政勇仁氏（東京大学）には，Ｍ凸補完について検討してもらう．土村展之氏（関西学院大学）には，アルゴリズムの開発とソフトウェアの実現において協力をお願いする．
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| Causes of Carryover |
残額が僅少であったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
28年度分として請求する研究費と合わせて論文投稿料に充当する．
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[Presentation] Discrete convex analysis2015
Author(s)
K. Murota
Organizer
Hausdorff Institute of Mathematics, Trimester Program, Combinatorial Optimization, Summer School on Combinatorial Optimization
Place of Presentation
ボン（ドイツ）
Year and Date
2015-09-21 – 2015-09-25
Int'l Joint Research / Invited
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