2017 Fiscal Year Annual Research Report
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26280004
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
室田 一雄 首都大学東京, 社会科学研究科, 教授 (50134466)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 離散凸解析 / 最適化理論 / 数理工学 / 情報基盤 / アルゴリズム / 経済理論 / 情報基礎 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
諸分野における共通の方法論としての離散凸解析を発展させるべく，以下の成果を得た．
離散凸解析の重要な概念であるM凸関数の公理について，その基本から再検討を行い，定義域に関する自然な仮定の下で交換公理がさまざまな形に簡単化されること，および，M凸関数が多重交換公理を満たすことの二つを示した．後者の成果は，経済学の分野で20年ほど前に提起された不可分財の代替性に関する問題に解決を与えたものであり，離散凸解析の経済学・ゲーム理論における意義をより高めるものとなった．
整凸関数は，スケーリングに関して閉じておらず，近接定理についても近接上界が多項式性をもたないことが昨年度の研究で明らかになった．L凸関数と整凸関数の中間に位置する関数クラスとして，離散中点凸関数の概念を考案し，この関数族が平行四辺形不等式を満たすこと，スケーリングについて閉じていること，次元に関して線形の近接上界をもつことを示し，これに基づいて，離散中点凸関数の最小化アルゴリズムを設計した．
計算機科学において研究されてきた値付き制約充足問題(VCSP)について，その多項式可解性を導くJoint Winner性が，離散凸解析におけるM凸性と深く結びついていることを指摘し，両方の分野において新たな展開をもたらした．さらに，M2凸関数の最小化が多項式時間で実行できることに着目し，M2凸関数の最小化に帰着するバイナリVCSPの特徴付けと帰着可能性の多項式時間判定アルゴリズムを与えた．
買い戻し問題と呼ばれるある種のオンライン問題において，目的関数を非線形関数に一般化した問題を扱い，離散凸解析の成果を利用することによって，高精度の解を求めるオンラインアルゴリズムを考案した．これにより，オンラインアルゴリズムが，離散凸解析の新たな適用可能分野として加えられた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究は，離散凸解析を工学・数学・社会科学など諸分野における共通の方法論として確立する試みであり，離散凸解析の理論と応用を，（１）連続・離散軸，（２）凸・非凸軸，（３）分野横断軸，の３つの観点から整理することによって，個々の数理的技法や応用諸問題の相互関係を明確にし，「数理手法の開発」，「応用の開拓」，「ソフトウェアの整備」の３つの面で新たな展開を図ってきた．具体的には，以下の通り研究を推進し，研究成果を発表し，いずれもおおむね順調に研究が進展している．
「数理手法の開発」については，離散凸性の一般化や，L凸関数やM凸関数を包含するクラスである整凸関数に関する研究を推進するとともに，M凸関数の公理系を詳細に再検討した．その一部については学会や論文誌で発表済みである．「応用の開拓」について，オペレーションズ・リサーチに関しては，スケジューリング，学科配属等の新たな応用研究を進めた．経済学・ゲーム理論に関しては，オークション理論を離散凸解析の立場から研究するとともに，離散凸解析の役割について長編のサーベイ論文をまとめた．また，M凸関数が多重交換公理を満たすことを示すことによって，不可分財の代替性に関して経済学の分野で20年ほど前に提起された問題を解決した．計算機科学に関しては，値付き制約充足問題(VCSP)やオンラインアルゴリズムへの新たな応用を見出した．以上の成果の多くは学会や論文誌で発表済みである．「ソフトウェアの整備」については，継続的に，離散凸関数の応用に関するデモンストレーションを整備してWeb上に公開してきた．Web上の文書の英語化も行った．
以上より，現在までの進捗はほぼ予定通りであり，研究計画は順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に引き続いて，「数理手法の開発」，「応用の開拓」，「ソフトウェアの整備」の３つの側面について，様々なテーマについて研究を推進し，研究成果を発表する．とくに，進度が緩やかな部分に配慮し，重点をおいて研究を進める予定である．より具体的には以下の計画で研究を進める．
「数理手法の開発」については，整凸関数とL凸関数の間に位置づけられる離散中点凸関数について，その数学的性質を明らかにするとともに，最小化アルゴリズムを設計する．また，マトロイドの束論的な特徴づけを拡張する形で離散凸関数の概念を束論的な立場からk考察する．「応用の開拓」については，数値・非数値情報を統合的に利用する組合せ緩和法を離散凸解析の観点から再検討するとともに，マッチング問題を中心とする組合せ最適化の分野で個別に発見されてきた離散凸性を数理計画法の一般論の中で位置づける．「ソフトウェアの整備」については，引き続き，離散凸関数の応用に関する様々なソフトウェアとデモンストレーションを整備して，Ｗeb上に公開する．
この研究の遂行のために，以下の方々に協力研究者をお願いする予定である．田村明久氏（慶應義塾大学）にはゲーム理論における離散凸性について，岩田覚氏（東京大学）にはアルゴリズム設計について，塩浦昭義氏（東京工業大学）にはオンラインアルゴリズムやオークションへの展開について協力をお願いする．森口聡子氏（首都大学東京）には離散中点凸関数について，平井広志氏（東京大学）には離散凸概念の一般化と束論的考察について，小林佑輔氏（京都大学）と高澤兼二郎氏（法政大学）には，グラフ問題の離散凸性について協力をお願いする．土村展之氏（関西学院大学）と澄田範奈氏（首都大学東京）にはアルゴリズムの開発とソフトウェアの実現について協力をお願いする．
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| Causes of Carryover |
研究の進展に伴い，当初予期し得なかった新たなアルゴリズムに関する知見が得られ，これを利用してより高度な研究成果を得た後に，研究成果発表を行うことになった．その結果，今年度（H29年度）に想定していた旅費は，予定額より少なくなった．また，本年度のデータ処理は，新たな機器を導入する必要なく，人件費をかけずとも行える範囲に収まり，物品費，人件費が抑えられた．以上，研究の推進に際して必要に応じて研究費を執行したため，当初の見込み額に差異が生じた．
次年度（H30年度）に請求する研究費と合わせて，旅費および物品費に充当する．発表時期以外は，研究計画の方針に変更はなく，次年度使用額を含めて，当初の計画を推進する．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
30年度が最終年度であるため、記入しない。
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