2014 Fiscal Year Annual Research Report
導来圏の安定性条件とDonaldson-Thomas不変量の研究
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26287002
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
戸田 幸伸 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 特任准教授 (20503882)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 安定性条件 / Donaldson-Thomas不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
３次元カラビヤウ多様体上の連接層の導来圏の安定性条件を調べ、その応用として３次元カラビヤウ多様体上の曲線の数え上げ理論に応用を与える事がこれまでの一貫した研究テーマである。これまでの研究で、例えば双有理同値な３次元カラビヤウ多様体の曲線の数え上げを比較するといった応用が得られていた。しかし３次元カラビヤウ多様体と、それと双有理同値なDeligne-Mumfordスタック上の曲線の数え上げを比較することはこれまでの技術では困難があった。例えば２次元射影平面を含む３次元カラビヤウ多様体を考えると、それと双有理同値なDeligne-Mumfordスタックを構成することができる。この場合に、２次元射影平面に台を持つ半安定層の数え上げ不変量の生成関数をmock theta型の級数を用いて記述し、この結果と弱安定性条件の理論を用いて上述の曲線の数え上げの比較問題を解決した。
また、一般に３次元代数多様体上のBridgeland安定性条件の存在は未解決であるが、この存在問題は2011年にBayer-Macri氏らと共同で提唱したBogomolov-Gieseker型不等式予想に帰着されている。Piyaratne氏と共同で、このBG型不等式予想が成立する3次元代数多様体に対して、Bridgeland半安定対象のモジュライスタックが固有な有限型代数スタックであることを証明した。この結果を用いて、BG型不等式予想が成立する３次元カラビヤウ多様体上にBridgeland半安定対象を数えるDonaldson-Thomas型不変量を定義した。現時点でBG型不等式予想が成立する３次元カラビヤウ多様体はアーベル多様体のエタール商として得られるものが知られており、この場合のDT型不変量の詳細な研究が今後の研究の展開として考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Bogomolov-Gieseker型不等式予想の解決には至らなかったが、これまでは困難であったスタック上の曲線の数え上げの比較問題の解決や半安定対象のモジュライスタックの構成など、様々な関連する進展があった。
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| Strategy for Future Research Activity |
正標数還元とフロベニウス写像を用いて、Bogomolov-Gieseker型予想にアプローチする。特に、傾斜半安定対象をフロベニウス写像で引き戻した際のHarder-Narasimhan振幅を詳細に調べる。また、Piyaratne氏と共同で構成したＡ型カラビヤウ多様体上のDT不変量の壁越え現象を詳細に調べ、曲線や曲面の数え上げに応用を与える事を考える。
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| Causes of Carryover |
海外からの研究者招聘が計画通りに進まなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
海外からの研究者招聘、海外の研究会への出席等に使用する。
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