2016 Fiscal Year Annual Research Report
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26287003
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
市野 篤史 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40347480)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
池田 保 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20211716)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 保型表現 / 周期 / テータ対応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Wee Teck Gan（Singapore 国立大学）と共同で、シンプレクティック群の二重被覆であるメタプレクティック群の保型離散スペクトルの研究を行った。これはArthurによる古典群の保型離散スペクトルの分類の一般化・Waldspurgerによる重さ半整数保型形式の分類の高次元化に相当する。平成２７年度の研究において、安定領域のテータ対応を用いることで大域理論を完成させ、さらに安定領域のテータ対応と同階数のテータ対応を比較することで、実数体の場合を除いて局所理論も完成させていた。平成２８年度はこの残っている実数体の場合の局所理論を研究した。解決には至らなかったものの、概ね方針を立てることができた。
Kartik Prasanna（Michigan大学）と共同で、四元数体上の保型形式と周期、特にJacquet-Langlands対応とHodgeサイクルの研究を行った。Tate予想によると、Jacquet-Langlands対応は対応する四元数志村多様体の積のサイクルにより実現されるはずである。このサイクルの構成は非常に難しいため、対応するHodgeサイクルの構成を目標として研究を行った。四元数志村多様体の積をユニタリ志村多様体に埋め込み、テータ対応を用いてユニタリ志村多様体上のHodgeサイクルを構成し、それを制限することで所望のHodgeサイクルを構成した。またユニタリ志村多様体のコホモロジーに現れるガロア表現に対する標準的な予想の仮定のもと、このHodgeサイクルがTateサイクルであることも明らかになった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Wee Teck Ganとのメタプレクティック群の保型離散スペクトルの共同研究は、実数体の場合の局所理論を除いて完成している。この局所理論においては、安定領域のテータ対応と同階数のテータ対応が整合していることを示す必要がある。最終的には重複度公式を用いた大域的議論を援用する予定だが、そこまで帰着させるために標準加群とは限らないある種の誘導表現の既約性を示す必要があった。この既約性はKazhdan-Lusztigアルゴリズムを比較することにより、内視群の標準加群の既約性に帰着できることが明らかになった。
Kartik Prasannaとの四元数体上の保型形式と周期の共同研究は、平成２７年度までの研究においてその基礎付けを完了してある。これに基づいて、新しい進展が見られたJacqeut-Langlands対応とHodgeサイクルの研究を優先して行った。鍵となるのは四元数体上の歪エルミート形式を用いた定式化である。この設定を用いると所望のHodgeサイクルは３次歪エルミート形式に対する四元数ユニタリ群に対応する志村多様体上のHodgeサイクルを制限することで得られる。この志村多様体上のHodgeサイクルはテータ対応とKudla-Milsonによる調和形式を用いて構成する。実際にこの構成がHodgeサイクルを与えることはユニタリ群の保型離散スペクトルの分類から従う。このように議論は保型形式に基づくものであり、いくつか技術的困難があったものの、それらは全て解消に至った。
今年度の研究は最終的な結果には至らず、論文という形にはまとまらなかったが、それは研究課題が当初の見積もりよりも困難だったことが理由だと考える。内容としては、例年なみに研究は進展したと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
Wee Teck Ganとのメタプレクティック群の保型離散スペクトルの共同研究を完了する。残っている実数体の場合の局所理論を完成し、論文の執筆・投稿を行う。
Kartik PrasannaとのJacqeut-Langlands対応とHodgeサイクルの共同研究においては、幾何から生じる技術的論点を整理し、証明の完成と論文の執筆・投稿を目指す。また構成したHodgeサイクルがTateサイクルであることも、志村多様体のコホモロジーに現れるガロア表現に対する標準的な予想の仮定のもとで明らかになっている。構成に必要となるユニタリ志村多様体に対し、この予想に関して調査を行い、仮定を外すことを目指す。また対応するガロア表現が絶対既約のときは、この予想を用いることなく証明できると考えているが、この議論の細部を詰める。
Kartik Prasannaとの四元数体上の保型形式と周期の共同研究において、その枠組みである四元数体上のテータ対応は、Hasse原理が成り立たないことで数論的構造を豊かにし、応用をもたらすことが分かってきた。この枠組みにおいては、今年度行ったJacqeut-Langlands対応とHodgeサイクルの研究以外にも、以前から行っていた周期関係式やGross-Zagier公式、さらにBeilinson予想などが研究できるため、これらを断続的に進めていく。また、この枠組みは新しい展開に繋がる可能性が非常に高いと考えているため、一連の研究は臨機応変に弾力的に進めていく。
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| Causes of Carryover |
Kartik Prasannaとの共同研究において、日程の調整がつかず予定していた研究打ち合わせを行うことができなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
Kartik Prasannaと予定していた研究打ち合わせを行うことで使用する。
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