2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287004
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 周 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40456760)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | アフィングラスマン多様体 / 半無限旗多様体 / 幾何学的拡大代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年度までに得られた幾何学的拡大代数の理論の論文の修正以外に、当初の予定を変更して幾何学的拡大代数の理論の結論と同様の状況が得られるような幾何学的設定ではあるが研究計画に書いたものとは異なる具体的な幾何学的設定についての研究を行った。なお、研究の推進のために１月に東大数理の斉藤義久氏と共同で勉強会を行った。
より具体的には幾何学的拡大代数の特別な場合を抽象化した概念であるアフィン最高ウェイト圏の構造を加群圏が自然に持つことが知られている半単純リー代数のカレント代数の表現のアフィングラスマン多様体および半無限旗多様体を用いた実現を研究した。得られた結果の中で現在論文にまとめるレベル(ただし論文執筆自体はもう少しかかる予定)の完成度のものとしては以下のものがある:
Braverman-Finkelbergにより半無限旗多様体上の直線束がカレント代数のワイル加群を実現することが示されている。また、Lenert-内藤-佐垣-Schilling-Shimozonoによりカレント代数のワイル加群の次数付指標はマクドナルド多項式の特殊化を与えることが示されている。特に半無限旗多様体の直線束の次数付指標は$q$-Whittaker関数系と呼ばれる差分方程式系の解となる。この状況下で半無限旗多様体に対する通常の旗多様体のデマジュール指標の理論の類似物を構成し、Braverman-Finkelbergの主張のデマジュール加群への一般化、および非対称マクドナルド多項式の通常とは異なる特殊化についての幾何学的な実現(およびそれが差分方程式系の固有関数となるひとつの理由)を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
幾何学的拡大代数の理論のもともとの適用対象を超えるが、最終的には同様の枠組みを用いて理解したい多様体の典型例として半無限旗多様体がある。今年度の研究を通じてその幾何学的構造がどのように表現論と関係しているかについての示唆を得ることができた。その数学的な定式化や半無限旗多様体を用いた表現論の本格的研究は次年度以降の課題ではあるが、今研究計画によって真に新しいことが分かる可能性が十分に出てきたように思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度得られた知見を基に、アフィングラスマン多様体や半無限旗多様体とカレント代数およびアフィン・リー代数の関係を軸とした幾何学的な設定とアフィン最高ウェイト圏の構造、もしくはその前段階として表現の構造を制御しているのかを追及する。
アフィングラスマン多様体も半無限旗多様体も(局所)有限な群作用の軌道を持つと思うこともできる一方、適切に設定を変更することによって因子化可能な多様体の最も基本的な例にもなる。今年度(もしくは来年度前半まで)の具体的研究を踏まえて、翌年度以降に我々の研究課題である幾何学的拡大代数もしくはアフィン最高ウェイト圏の構造を生むような多様体の族はどのようなものかを考察してゆきたい。
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| Causes of Carryover |
本年度は研究集会を主催し、かつポスドクを雇ったため大きな費用が生じ調整が十分に効かず、結果として次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度使用額の総額自体はあまり大きくないので、今年度の本人(もしくは共同研究者等)の出張に関わる宿泊費/日当を適宜減額調整することで研究計画を変更することなく研究を遂行することを考えている。
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