2016 Fiscal Year Annual Research Report
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26287004
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 周 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (40456760)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 半無限旗多様体 / 非対称マクドナルド多項式 / 大域ワイル加群 / ピエリ公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は昨年度に引き続き半無限旗多様体及びそのシューベルト多様体上の直線束や直線束に近い層の研究を行った。その結果として半無限旗多様体上の同変連接層の幾何学がこの研究課題全体の目標である幾何学的拡大代数の理論と類似した構造を示すことが分かりつつある。半無限旗多様体は元々のFeigin-Frenkelの研究の中での定義では代数多様体として定まらないこともあり、それに近い多様体を適切に定義してその性質を調べるというのが一つの立場である。この立場においては半無限旗多様体は無限次元であるために、それをindスキームとして構成する方法と非有限型スキームとして構成するふた通りの方法が知られている。今年度はその両方の立場において基礎的な研究を行った。
半無限旗多様体のindスキームとしての立場においては、Braverman-Finkelbergによる直線束のコホモロジーの構造定理をより一般のシューベルト多様体へと拡張した。この拡張により、通常の場合のシューベルト多様体上の直線束のこホモロジーの指標公式であるDemazure指標公式は我々の設定では差分方程式系に置き換わり、その固有関数系が直線束の指標であることを主張することが明確になった。また、この作用は自然に(冪零版)二重アフィンヘッケ環の作用ともみなせることがわかった。この結果についてはとりあえず結果をまとめ年度中に投稿した。
また、半無限旗多様体の非有限型スキームとしての立場においては、やはりBraverman-Finkelbergによって予想された正規性を証明し、さらに同変直線束の同型類の分類、高次コホモロジーの消滅公式などを証明した。これらはこの設定で同変K-群を定めることを可能とし, Pieri-Chevalley型の公式が導かれた(内藤聡氏、佐垣大輔氏との共同研究)。この結果については現在検証およびまとめをおこなっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
元々の研究計画からは若干寄り道をしていることは確かである。ただし、当初期待した通り半無限旗多様体という定義のみであれば少なくとも25年前までさかのぼるものの結局本質的にモジュライ解釈に依存した(ように外部からは思われる)結果のみが存在する多様体に対し、広い意味で幾何学的拡大代数の理論と同様の振る舞いをする幾何学的設定として新しい視点を加えつつ元々自然に存在する問題をいくつか解決することができた(もしくはできそう)なように思われる。
特に、上に書いたように現在検証中ではあるが、半無限旗多様体をきちんとスキームとして書いたことは今後の研究においてはより直接的に半無限旗多様体を扱えることを意味するため多くの応用が期待できると考えている。このような新しい展開が得られているということは少なくとも研究の総量としてはきちんと進捗していることを示唆していると考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度は昨年度までの研究をまとめて論文として投稿するとともにその先の話をさらに推進し、より深く半無限旗多様体そのものならびに関連する多様体を表現論的な見地(特に研究計画の軸である幾何学的拡大代数の理論の類似物)から理解することを考えている。
具体的には半無限旗多様体上の同変連接層を用いて非対称マクドナルド多項式を(投稿中の論文に比して)より加群論的に理解する、半無限旗多様体のK群の構造を用いて戸田方程式の高次ハミルトニアンの族を具体的に書き下す、半無限旗多様体の同変連接層を研究するのと同様のアイデアを一般のカッツ・ムッディー型旗多様体の無限次元シューベルト多様体、特に半無限旗多様体と構造に顕著な類似性がみられるアフィングラスマン多様体の無限次元シューベルト多様体へと適用することによりフェイギンにより予想されたその表現論的構造を記述すること、などを主に考えている。また、さらに余裕があればそのような構成と共型場理論や量子K群(もしくは量子コホモロジー環)との関係や半無限旗多様体上の微分作用素の層(およびその加群たち)の構造を調べることなど中心に考えている。
以上の目的を達成するために、２～３人のビジターを京都へ呼ぶとともに関連する分野についての公開の勉強会や定期セミナーを外部から人を招いて行い、さらに補助のためにポスドクを１名程度雇用することを考えている。また、学生たちにも関連する分野についての宣伝を行い、必要があれば本研究費からお金を出して研究集会や勉強会などへ出席してもらうことを考えている。
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| Causes of Carryover |
予算のリミットが近づいてきたところで科研費の使用を抑制し過ぎてしまいました。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
貴重な補助金であることは重々承知していますが、額が16円ですのでこれにより研究計画に影響を与えることはありません。
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