2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287008
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
吉野 雄二 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (00135302)
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2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 代数学 / 可換環論 / 導来圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一昨年度までの研究で可換Noether環上の加群圏の一般導来圏における鎖複体のある種の消滅定理を証明した。
平成27年度には、この証明のアイデアを更に進化させた形で、一般導来圏における局所双対定理やAuslander-Reiten双対の根本を与えると思われるいくつかの原理（局所双対原理とAuslander-Reiten principle)に到達することができた。
詳しく言うと、可換Noether環をひとつ固定して、その上で条件を全く課さない鎖複体（unbounded chain complex）の全体からなる最も巨大な導来圏（一般導来圏）を考えるとき、そこにおける局所化部分圏のひとつひとつに対応して局所コホモロジー関手が定まる。その局所コホモロジー関手に対して従来型の局所双対原理とAuslander-Reiten principleが成立するというものである。（この成果については専門誌に投稿のために現在論文を執筆中である。）
また、これらの原理の証明の課程で様々な新たな問題が浮上してきたのであるが、それと同時に、環のスペクトルの任意の部分集合に対して局所コホモロジー理論が展開できることが分かった。こららの一般的結果が、かつてBass予想と呼ばれたRobertsの定理の簡約な証明や、Auslander-Reiten予想に代表される環上の加群のホモロジー代数に関する未解決問題の解決に向けて応用できる可能性が出てきた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要で述べたように、可換Noether環上の一般導来圏において、新しい原理となるもの（局所双対原理とAuslander-Reiten Principle)が証明できたことは望外の喜びである。
しかしこれらが環上のホモロジー代数においてどのような形で応用が可能かについては更なる考察を要すると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度については、昨年度の研究において証明が完了した可換Noether環上の一般導来圏における局所双対原理とAuslander-Reiten Principleをホモロジー予想へ応用することを考察する。
また、従来から考察していた鎖複体のなすホモトピー圏における対象の反射性やねじれ性に関する理論の完成を目指す。
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| Causes of Carryover |
予定していた研究会への出席が、研究代表者の事情で、中止せざるを得なかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
別の研究会への出席のための出張旅費として使用する。
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