2018 Fiscal Year Annual Research Report
Study on modules over commutative rings by categorical methods
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26287008
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
吉野 雄二 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (00135302)
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2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 非有界複体 / 安定圏 / シジジー / DG代数とDG加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
可換ネータ環上の非有界鎖複体のなす導来圏において，その局所化部分圏に対応するセクション関手に対して局所双対定理と同等の原理を証明することに成功した。またその双対として余局所化部分圏に対応する理論を構築し，この枠組みの中で従来証明が難しいとされていた幾つかの定理を容易に証明できることを示した。
またDG加群の持ち上げ問題について，一変数の拡大環の場合には肯定的な解答を与えることができた。これによって，可換環の古典的予想であったAuslander-Reiten予想に対して，それを肯定的に証明する手立てが可能になった。
さらには最近，次の定理を証明することができた。
定理：可換ネータ環Rの全商環がGorensteinであると仮定する。このとき任意のR上の有限生成射影加群からなる非有界複体Xについて，Xが完全列であることとそのR-双対Hom_R(X, R)が完全列であることは同値である。
これは可換環に対する太刀川予想の類似を含む定理であり、長年研究代表者が考えてきたtotally reflexive加群の条件の非独立性を示すものでもある。この定理を証明するために私は、有限生成射影加群を成分にもつ非有界複体のなすホモトピー圏K(proj(R))において「安定理論」とも云うべき理論を新たに構築した。これはM.AuslanderとM.Bridgerによって展開された古典的な「安定加群理論」（Memoirs of the American Math. Society, No. 94 A.M.S. Providence, R.I. (1969)）の手法を鎖複体にまで拡張して，三角圏K(proj(R))を「安定化」した圏において，新たに「torsion-free」，「reflexive」な対象を定義しそれらを「syzygy」との比較によって議論する今までにない新たな理論体系である。
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| Research Progress Status |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Causes of Carryover |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成30年度が最終年度であるため、記入しない。
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