2016 Fiscal Year Annual Research Report
New development of Lipschitz structure/collapsing theory of Alexandrov spaces and inverse spectral problem
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26287010
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山口 孝男 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00182444)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
太田 慎一 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00372558)
磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, その他 (90111913)
塩谷 隆 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90235507)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | アレクサンドロフ空間 / リプシッツ・ホモトピー収束 / スペクトル / 鈍角定数 / 等周定数 / 逆問題 / フィンスラー多様体 / 重みつきリッチ曲率 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
山口：曲率が下に有界なアレクサンドロフ空間に対して、比較角の概念を用いることにより鈍角定数という幾何不変量を導入した。この定数は比較角の意味で空間の大域的な広がり具合を図るものであり、0とπ/2 の間にその値を取る。空間に対する一様な直径のバウンドの下で、鈍角定数が体積と密接な関係があり、空間が崩壊するのは鈍角定数が非常に小さい場合に限ることを示した。空間が非有界の場合には、無限遠からの鈍角定数という概念が自然に定まり、空間が非負曲率をもつとき、体積増大度と無限遠からの鈍角定数の関係を明らかにした。また、空間のリプシッツ・ホモトピー収束について曲率が下に、直径が上に、体積が下に一様に有界なアレクサンドロフ空間の無限列がアレクサンドロフ空間にGromov-Hausdorff収束する状況で、正則部分の間の概等長写像が空間全体の間のリプシッツ・ホモトピー同値写像に拡張することを示し、前年度の結果の精密化が得られた。
磯崎：回転面のスペクトル的特徴づけを無限次元ヒルベルト多様体の観点から逆問題を解いた。また摂動された格子上のシュレーディンガー作用素のスぺクトル散乱現象を解析し、散乱の逆問題、特に格子中の欠損の同定を行った。取り扱い得る格子としては六角格子等の個体物理学における重要な例が含まれる。
塩谷：測度距離空間に対してチーガーの等周定数とオブザーバブル直径の間の不等式を得た．これは従来知られていたものと異なり，最良の評価式である（東氏と共同）．
太田：フィンスラー多様体の幾何解析について、前年度の研究で進めた重みつきリッチ曲率と熱流に関するΓ解析の応用として、幾つかの関数不等式を示した。具体的には、リッチ曲率の変形である重みつきNリッチ曲率が正数K以上であるフィンスラー多様体に対し、ポアンカレ不等式（Lichnerowicz不等式）、対数ソボレフ不等式、ソボレフ不等式を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
アレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束理論については、リプシッツホモトピー同値写像のリプシッツ定数の一様性を除き当初の目的を達成した。また今年度の研究により導入された鈍角定数という幾何不変量の概念は、アレクサンドロフ空間のユークリッド空間への双リプシッツ埋込み問題に寄与できるポテンシャルをもつものであり、今後の新たな展開が期待できる結果である。また測度距離空間や重みつきリッチ曲率に対する幾何解析的研究も順調に進んでいる。逆問題に関しては、離散幾何モデルに対して進展が見られる。
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| Strategy for Future Research Activity |
鈍角定数に関する今年度の結果を用いることにより、アレクサンドロフ空間のユークリッド空間への双リプシッツ埋込み問題に対して肯定的に解決したい。また崩壊する非コンパクト・リーマン多様体に対するスペクトル逆問題やアレクサンドロフ空間に対するスペクトル逆問題にも取り組んで行きたい。そしてアレクサンドロフ空間の崩壊理論（３次元境界付きの場合の論文完成、４次元の場合）を展開させて行きたい。
一方で、これまでのアレクサンドロフ空間の研究において、extremal subset(極集合）の研究において新たな進展が見られた。今後、極集合の研究も開始したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
9月に開催された国際研究集会における招待講演者Vitali Kapovitchi 氏が健康上の理由により来日できなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２９年度は境界つき多様体の崩壊に関する共同研究のため、Z.Zhang 氏やスペクトル逆問題をアレクサンドロフ空間で進展させるべく、Y. Kurylev 氏やM.Lassas 氏を招聘する予定で、そのための旅費に使用する。
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