2015 Fiscal Year Annual Research Report
グラフィクスとカンドル理論の観点からの４次元トポロジーの研究
| Project/Area Number |
26287013
|
|---|
| Research Institution | Osaka City University |
|---|
Principal Investigator |
鎌田 聖一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河内 明夫 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00112524)
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
遠藤 久顕 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (20323777)
佐藤 進 神戸大学, 大学院理学研究科, 教授 (90345009)
安井 弘一 広島大学, 大学院理学研究科, 助教 (70547009)
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 助教 (90609091)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | トポロジー / 曲面結び目 / グラフィクス / ４次元トポロジー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
曲面絡み目はマーカー付きグラフを用いて表示することができ、その表示は吉川変形と呼ばれる基本変形の差を除けば一意的に定まる。この事実に基づき、曲面絡み目のマーカー付きグラフに対し、ステイトモデルを用いた不変量の構成を行った。LipsonのKauffman多項式不変量の特殊ケースを導くステイトモデルをマーカー付きグラフの図式に拡張し、吉川変形で不変となる条件を導いた。この条件を満たす２つの設定を考え、不変量の性質を調べたところ、１つは曲面の向き付け可能性を導くが、他方はそれを反映しないことがわかった。同一のモデルを用いても、拡張の過程で用いた設定により、異なる性質の不変量が導かれることを示す具体例である。
曲面結び目にリボン・クラスプ型の概念を導入し、その研究を行った。リボン・クラスプ曲面結び目の１ハンドル手術を用いた特徴付けを与え、はめ込み曲面結び目に対する標準形を定義した。リボン・クラスプ曲面結び目となる条件を標準形の言葉で表すことに成功した。
平成27年5月に京都大学数理解析研究所で研究集会「Intelligence of Low Dimensional Topology」を開催した。世話人は大槻知忠（分担者）と北山貴裕で、11件の講演と約70名の参加者あった。平成27年11月に大阪市立大学で研究集会「４次元トポロジー」を開催した。世話人は鎌田（代表者）、安井弘一（分担者）、松本堯生（連携研究者）で、13件の講演と約50名の参加者があった。平成27年7月に大阪市立大学で結び目理論に関する研究集会（TAPU-KOOKセミナー）を開催した。平成28年1月に国際研究集会「The 11th East Asian School of Knots and Related Topics」を大阪市立大学で開催し、75件の講演と約110名の参加者があった。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
曲面絡み目のマーカー付きグラフの表示に対して、ステイトモデルを用いた不変量の構成では、２種類のステイトモデルに関して調査することができた。１つのモデルからでも、その拡張と条件の設定によって異なる性質の不変量が生じる明確な具体例が今回得られたので、今後研究を推進する上で役に立つ。
今回得られた（はめ込みの）曲面結び目に対する標準形やリボン・クラスプ曲面結び目の特徴付けも曲面結び目理論の有力な研究手段となりうる。
|
| Strategy for Future Research Activity |
はめ込み曲面結び目の標準形の構成に成功したので、今後は、はめ込み曲面結び目のダイアグラムとその基本変形に関する研究とブレイド表示に関する研究を進める必要がある。そのために、以前代表者によって考察されていたはめ込み曲面結び目に関するアレクサンダーとマルコフの定理の再検証を行う。特に、マルコフの定理はまだ論文にしておらず、論文にまとめる必要がある。そこで用いられた２重点に関する議論を用いれば、ダイアグラムの基本変形にも利用できると思われる。
|
| Causes of Carryover |
平成27年9月に予定していた海外の研究者の招へいが先方の都合により実施できなかったため。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成28年9月に前年度予定していた研究者の招へいを行う計画である。
|
