2016 Fiscal Year Annual Research Report
グラフィクスとカンドル理論の観点からの４次元トポロジーの研究
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26287013
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
鎌田 聖一 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (60254380)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河内 明夫 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00112524)
金信 泰造 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (00152819)
遠藤 久顕 東京工業大学, その他部局等, 教授 (20323777)
大槻 知忠 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (50223871)
安井 弘一 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (70547009)
佐藤 進 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90345009)
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 助教 (90609091)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | トポロジー / 曲面結び目 / グラフィクス / ４次元トポロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
４次元空間内の曲面結び目に関する結び目解消操作で重要なものが１ハンドル手術である。曲面が有向かつ連結である場合にはJ. Boyleによる結び目群を用いた分類手法があった。平成26年度に、カンドルのテンソル積の概念を導入することで向き付け不可能な曲面や非連結な場合でも効果的に１ハンドルを扱う方法が見出された。今年度はすべての位数に対して、２面体カンドルのテンソル積を計算し、その代表系を求めることに成功した。応用として１ハンドルの不変量の構成に今後利用することができる。
特異曲面結び目（はめ込み曲面結び目）のブレイド表示に関するマルコフの定理の証明で２重点固定化の議論を用いるが、その際にホップ絡み目のモーション群を用いれば議論が明快となることがわかった。
平面上の閉曲線を１型と２型のライデマイスター変形に対応する変形を法に同値類をとったものをdoodleという。R. FennとP. Taylerが1979年に導入した概念で、交換子関係式を導くなどの応用がある。レフシェツファイバー空間のモノドロミーの研究など交換子関係式は重要な研究対象である。R. Fenn、A. Bartholomew、鎌田直子らとともにdoodleを一般種数の曲面のケースに拡張を行った。特に、曲面上のdoodleを、平面上に仮想交差を許した図式を用いた仮想doodleとして表せることを示した。
平成28年5月に京都大学数理解析研究所で研究集会「Intelligence of Low Dimensional Topology」を開催した。世話人は大槻知忠（分担者）と伊藤哲也で、11件の講演と約60名の参加者あった。平成28年11月に大阪市立大学で研究集会「４次元トポロジー」を開催した。世話人は鎌田（代表者）、安井弘一（分担者）、松本堯生（連携研究者）で、19件の講演と約45名の参加者があった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
具体的な有限カンドルである２面体カンドルについて、テンソル積を計算したことは今後の応用上有効である。実際、曲面結び目の基本カンドルから２面体カンドルに表現を１つ与えることで、その曲面結び目に接着する１ハンドルの不変量を１つ構成することができる。２面体カンドルのテンソル積について代表系も与えられており、得られた値の判別も容易である。
R. FennとP. Taylerによって導入された doodleは平面上の曲線がなすグラフィクスである。一般種数の曲面のケースに拡張することで、平面上では得られなかった新しい交換子関係式が得られる。また、曲面上のdoodleを、平面上に仮想交差を許した図式を用いた仮想doodleとして表すことができることもわかったので、仮想結び目理論への応用も可能である。
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| Strategy for Future Research Activity |
２面体カンドルのテンソル積を用いて、曲面結び目に接着する１ハンドルの不変量を構成することができるので、具体的な曲面結び目について計算を行い、研究集会での発表と論文の作成を行う。
曲面上のdoodleに関しては、不変量の構成が必要である。カンドルなどの代数系を用いた不変量の構成に取りくむ。
引き続き、はめ込み曲面結び目のダイアグラムとその基本変形に関する研究とブレイド表示に関する研究を進めていく。２重点に関する議論を用い、ダイアグラムの基本変形を構成する。
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| Causes of Carryover |
平成28年9月に予定していた海外の研究者の招へいが先方の都合により実施できなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成30年1月に前年度予定していた研究者の招へいを行う計画である。
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