2014 Fiscal Year Annual Research Report
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26287014
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
舟木 直久 東京大学, 数理科学研究科, 教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大規模相互作用系の起源は、統計物理学の研究において用いられる各種の数理モデルにある。それらは、巨視的に観測される様々な現象を微視的レベルから解析し理解するために導入される。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。本研究は、研究代表者と研究分担者らの協力の下に進められたが、研究実績は研究者ごとに述べる。
Rayleigh-Plesset方程式は水中の泡の運動を記述する方程式として知られているが、その微視的揺動としての確率摂動項を導入することは自然である。研究代表者の舟木は、確率項のない方程式から決まるLyapunov関数を用いて、確率項を持つ方程式の解の存在と一意性および不変測度の存在を示した。
界面揺動を記述する Kardar-Parisi-Zhang(KPZ) 方程式の研究は、フィールズ賞受賞者を出すなど、大きな注目を集めている。これは一種の確率偏微分方程式であるが、発散項(無限大)を含み、数学的意味を与えることは難しい。しかし、その（形式）解のCole-Hopf 変換を考えると、乗法的ノイズを持つ線形確率熱方程式に帰着される。舟木は、このようにして得られるCole-Hopf解の不変測度について調べた。さらに、この結果を多成分がカップルしたKPZ方程式へと拡張することに成功した。また、弱いピンニングの効果を持つ Gauss 的ランダム場のスケール極限に関する研究を行った。
研究分担者の長田は、相互作用ブラウン運動がなす系に関係するDirichlet形式の芯集合として、構成の仕方によらず局所的かつ滑らかな関数から成る集合が取れることを示した。また研究分担者の熊谷は、２次元uniform spanning tree上のランダムウォークの収束の考察およびランダムコンダクタンスモデルにおいて対応するマルコフ連鎖の熱核の精密な評価を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
確率的摂動項を持つRayleigh-Plesset方程式あるいは多成分がカップルしたKPZ方程式といった確率編微分方程式に関する研究が順調に進展した。
また、海外共同研究者のBolthausen 教授らと、界面にピンニングの効果を加えたモデルについて、3次元以上の場の場合にもスケール極限の研究を行い、見本路大偏差原理の速度汎関数の最小点が複数個ある場合に極限を特定することに成功した。これは界面の巨視的形状であるWulff 図形を定める変分原理の解が一意でない場合に、界面の形を決定することを可能にするものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
確率反応拡散方程式の鋭敏界面極限の研究を行う予定である。特に、反応項の空間平均を引いた方程式が、保存則を持つことに着目し、漸近展開の手法を用いて確率項の影響を詳しく調べる予定である。また、生物モデルの研究も開始する。具体的には、生物進化理論において用いられているAdaptive dynamicsに数学的意味を与える方向の研究を進める予定である。
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| Causes of Carryover |
確率反応拡散方程式の漸近展開の研究に取り組むにあたって、この方面の専門家との議論が必要な状況が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2015年6月にフランスを訪問する予定であるが、その際パリ南大学に立ち寄り、この方面の専門家である Danielle Hilhorst 教授と議論することを計画している。
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Research Products
(21 results)
