2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287014
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
舟木 直久 東京大学, 数理科学研究科, 教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大規模相互作用系とは、もともと統計物理学の研究において用いられる各種の数理モデルの総称であり、莫大な自由度を持つ系である。様々な現象の解析においては階層性が重要な役割を果たす。すなわち、巨視的な視点からは、各種の現象は偏微分方程式によって記述されることが多いが、その背後にあるのが大規模相互作用系である。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。本研究は、研究代表者と研究分担者らの緊密な協力の下に進められたが、研究実績は各テーマを主導した研究者ごとに述べる。
研究代表者の舟木は、Q-ブラウン運動とよばれる時空間変数に依存するノイズを持つ1階確率保存則の弱エントロピー解について、解の存在を示し、解の一意性についても考察した。また、多成分を結合させた Kardar-Parisi-Zhang 方程式についての研究を進展させた。これは一種の確率偏微分方程式であるが、数学的には不適切 (ill-posed) な方程式であり、無限大の発散を繰り込む必要がある。さらに、保存則を持つ確率 Allen-Cahn 方程式の鋭敏界面極限に関する研究を行い、漸近展開の手法を用いて極限として現れる界面のランダムな運動について解析した。
研究分担者の長田は、時空間相関関数の手法によって構成された遠距離強相互作用系の確率力学が、確率微分方程式によって構成されたものと一致することを、サイン核、Airy核、Bessel核などを持つ場合に証明した。研究分担者の熊谷は、時間に依存する離散的なランダム媒質においては、媒質の小さな摂動で離散時間マルコフ連鎖の長時間挙動が大きく変わり得ることを示した。これにより、時間に依存しないランダム媒質との顕著な違いが明確になった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
時空間変数に依存する確率項を持つ1階確率保存則の弱エントロピー解の研究、および多成分を結合させた Kardar-Parisi-Zhang 方程式についての研究が順調に進展した。
また、保存則を持つ確率 Allen-Cahn 方程式の鋭敏界面極限に関する研究を本格的に開始させ、今後の研究の発展へとつなげることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
保存則を持つ確率 Allen-Cahn 方程式の鋭敏界面極限に関する研究を進める。また、生物進化論において用いられる Apaptive dynamics の研究を本格的に行う予定である。このdynamicsは、海外の有力な確率論研究者も注目しており、迅速に対応する必要性を感じている。
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| Causes of Carryover |
確率偏微分方程式の研究に取り組むにあたって、この方面の専門家との議論が必要な状況が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2016年5月～6月にかけてイタリアで開催される確率偏微分方程式関する国際研究集会に出席し、多くの専門家と多方面から議論することを計画している。
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