2016 Fiscal Year Annual Research Report
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26287014
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
舟木 直久 東京大学, 数理科学研究科, 教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、研究代表者と研究分担者らの緊密な協力の下に実施しているが、研究実績は各テーマを主導した研究者ごとに述べる。
研究代表者の舟木は以下の研究を行った。まず、多成分 KPZ 方程式について、擬被制御解析を適用することにより、非線形項のカップリング定数が3重線形性とよばれる対称性の条件を満たせば、拡散係数による修正を加えた多次元ウィナー測度が定常測度であり、この測度についてほとんどすべての初期値に対し方程式は大域的適切性を持つことを示した。これは星野壮登氏との共同研究である。また、横山聡氏と共同で、質量保存アレン・カーン方程式にノイズを加えて得られる確率偏微分方程式について、鋭敏界面極限を論じ、極限で確率的摂動を持つ質量保存平均曲率運動が導かれることを示した。さらに、Clement Denis 氏・横山聡氏と共同で、方向に依存するノイズを加えた平均曲率運動について調べた。近似解の一様モーメント評価を導くことにより、曲率に対する確率偏微分方程式について Wong-Zakai 型の収束定理を示した。若野友一郎氏・横山聡氏との共同研究では、数理生物学において用いられる Adaptive dynamics に数学的基礎づけを与えるために、マルコフ連鎖模型を導入し、個体数が増加するときに、適切なスケール極限の下で系は replicator-mutator 方程式の解に収束することを示した。乗法的ノイズ項を持つ1階の確率偏微分方程式に関する Yueyuan Gao氏・Danielle Hilhorst氏との共同研究を継続し、有限体積法の観点から調べた。
研究分担者の長田は、河本陽介氏とともに、干渉ブラウン運動に対する有限粒子系近似に関する一般的定理を証明し論文として発表した。またその応用として、ガウシアン・ユニタリアンサンブルの場合に、極限の確率微分方程式のある種の普遍性を証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
多成分 KPZ 方程式の時間大域的適切性、質量保存確率アレン・カーン方程式からの質量保存平均曲率運動の導出、方向に依存するノイズを持つ平均曲率運動、数理生物学に現れる Adaptive dynamics の数学的基礎づけ、乗法的ノイズを持つ1階の確率偏微分方程式の近似理論、干渉ブラウン運動の有限粒子近似と極めて多方面から、大規模相互作用系に対する研究を実施することに成功し、多くの研究成果が得られた。なお、雑誌論文の公表・出版には時間差があり、次年度以降になる。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度は本研究の最終年度として、これまでに得られた研究成果を総括し、これらをさらに発展させる研究を行う。特に、多成分がカップルしたKPZ方程式についてカップリング定数が3重線形性を満たさない場合の不変測度の研究、大規模相互作用系からのKPZ方程式の導出を目指した研究、ノイズ項が空間変数にも依存する確率アレン・カーン方程式や確率的平均曲率運動に関する研究などを進める。
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| Causes of Carryover |
相互作用粒子系とKPZ方程式の研究に取り組むにあたって、この方面の専門家との議論が必要な状況が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2017年6月にフランス・パリで開催される大規模相互作用系に関する研究集会に出席し研究成果を発表すると同時に、多くの専門家と多方面から議論することを計画している。
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[Presentation] A coupled KPZ equation2016
Author(s)
舟木直久
Organizer
Workshop on Stochastic Processes, in honour of Erwin Bolthausen's 70th birthday
Place of Presentation
Universitat Zurich (スイス)
Year and Date
2016-09-16
Int'l Joint Research / Invited
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