2017 Fiscal Year Annual Research Report
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26287014
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
舟木 直久 早稲田大学, 理工学術院, 特任教授 (60112174)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長田 博文 九州大学, 数理学研究院, 教授 (20177207)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 確率論 / 解析学 / 統計力学 / 数理物理 / 関数方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大規模相互作用系とは、もともと統計物理学の研究において用いられる各種の数理モデルの総称であり、莫大な自由度を持つ系である。様々な現象の解析においては階層性が重要な役割を果たす。すなわち、巨視的な視点からは、各種の現象は偏微分方程式によって記述されることが多いが、その背後にあるのが大規模相互作用系である。以下、本年度の研究実績からいくつか具体的に述べる。
正方格子上の大規模相互作用粒子系の典型例として、Glauber-川崎力学がある。各粒子は排除則の下で正方格子上をランダムウォークし、同時に時間的にゆるやかな粒子の生成・消滅の効果を持つような系である。通常の時空の流体力学的なスケール極限の下では、巨視的な系を記述する方程式として反応拡散方程式が得られることが知られているが、生成・消滅の効果を適度に大きくする極限の下で、粒子の高密度領域と低密度領域の間の相分離が見出され、巨視的レベルにおける相分離超曲面は平均曲率運動をすることが示された。実際の系と局所平衡状態が定める測度の間の相対エントロピーの詳しい評価を求めることにより証明が可能になった。
その他、多成分 KPZ 方程式に対する擬被制御解析による研究、ノイズを加えた平均曲率運動の研究、乗法的ノイズ項を持つ1階の確率偏微分方程式の解の一意性の研究を継続的に行った。ランダム行列に関連する研究としては、干渉ブラウン運動を記述するDirichlet形式の一意性、ランダム行列に対する力学的普遍性等を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
多成分 Kardar-Parisi-Zhang 方程式、ノイズを持つ平均曲率運動、1階の確率偏微分方程式、大規模相互作用粒子系からの平均曲率運動の直接的な導出、ランダム行列に付随する無限粒子系と多方面にわたり研究は順調に進捗している。
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| Strategy for Future Research Activity |
多成分を持つ Kardar-Parisi-Zhang 方程式のカップリング定数が三重線形性と呼ばれる対称性の条件を満たさない場合に平衡測度の解析を行う。また、複数の保存則を持つ大規模相互作用粒子系からの多成分KPZ方程式の導出を目指す。さらに、相対エントロピーの詳しい評価を経由する手法を用いることにより、2成分を持つ相互作用粒子系からの自由境界問題を内包する非線形偏微分方程式の導出を行う。
無限次元Dysonモデルに代表される、干渉ブラウン運動とよばれる無限次元確率力学に対して、状態空間のエルゴード分解を示す。無限次元確率微分方程式で対称性を持つものは無限個の有限次元確率微分方程式の列で、両立性を持つものと同値であり、したがって、有限次元の確率解析の諸結果を無限次元でも展開できるという考えに従って研究を進めていく。
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| Causes of Carryover |
30年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
30年度が最終年度であるため、記入しない。
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