2015 Fiscal Year Annual Research Report
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26287016
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
宍倉 光広 京都大学, 理学研究科, 教授 (70192606)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
稲生 啓行 京都大学, 理学研究科, 講師 (00362434)
上田 哲生 京都大学, 理学研究科, 教授 (10127053)
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| Project Period (FY) |
2014-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 力学系 / カオス / 分岐 / フラクタル / くりこみ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
宍倉は、無理的中立不動点を持つ複素力学系の局所不変集合を近放物型くりこみを用いて研究した。正則写像芽、無理的中立不動点を持つ場合には、Perez-MarcoによってHedgehogという不変集合が定義されているが、その構造を指数関数のジュリア集合を記述するRempeの位相的モデルを参考にして、位相的記述をすることに成功した。これは、無理数回転を記号力学系として記述するDenjoy odometerをベースとし、点ごとに異なる長さの半直線をファイバーとする空間であり、その構成には、力学系的チャートの概念と稲生との共同研究で得られた、近放物型くりこみで不変な関数族とその上へのくりこみ写像の作用の双曲性を応用した。
また、複素力学系のパラメータを変化させ、退化させたときに起きる現象を、ある種の樹木とその上の区分線形写像を用いて記述することが出来る場合がある。擬等角変形によるStretching defoemationの極限の場合には、宍倉による先行研究があるが、近年M. Arfeuxによる別のタイプの退化極限が研究された。どちらの場合にも、逆に樹木とその上の区分線形写像が与えられたときに、その極限をもつような族が構成できるかは重要な問題であるが、宍倉とM. Arfeuxによる共同研究により、いくつかの事例についてこの構成が実行された。
上田は、複素２変数の半吸引的不動点の分岐によって吸引及び鞍型不動点の組が生ずる場合の吸引領域と不安定多様体の変化について E.Bedford と共同研究を行った．
稲生は、反正則2次多項式族(Tricorn)の共通境界を持つ2つの双曲成分の自然なパラメータ付けが一般に共通境界で一致しないこと、実3次多項式族のTricorn的集合がTricornとは同相にならないことを示した(Mukherjee氏と共同)。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
くりこみを用いた分岐現象の研究については、力学系的チャートの定式化と応用について進展があった。HedgehogのRempeモデルの構成には、位相的・定性的な情報のみでなく、定量的な微分の評価等も必要であったが、それについて十分な評価が得られつつある。
複素力学系の退化極限の問題は、分岐の研究の中から発生した問題であり、まだその研究の初めの段階であるが、具体例に関する構成を行うことが出来たので、今後はより一般的な定式化を目指したい。
反正則2次多項式族の分岐集合の研究は、長年の未解決問題に決着を付けたものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
複素力学系のくりこみ理論は、まだ未解決問題が多く、特に近放物型くりこみの適用範囲がどこまでになるかという問題は、重要であるので、重点的に研究したい。
また、多くの場合、無限くりこみ可能性から剛性が導かれるが、そのために、擬等角写像の各点ごとの微分可能性について研究する予定である。
複素力学系の退化極限について、逆問題として、樹木とその上の区分線形写像から退化する有理関数の族を作る問題は、引き続き一般的な定式化を目指す。
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| Causes of Carryover |
2015年度は、石井豊氏が代表者、宍倉が副代表者となり、12月7日から11日まで数理解析研究所において「RIMS Workshop on Complex Dynamics」を開催し、数多くの海外の研究者を招聘した。M. Lyubich氏やC. Bishop氏も参加を承諾してくれたが、家族の事情や所属大学の教育のため、最終的に参加することが出来なかった。その他にも、数理解析研究所や石井豊氏の科研費などで、旅費全額または一部を支出することが出来、当初の予定よりも旅費の支出額が少なくなった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度は、奥山祐介氏が代表者、宍倉が副代表者となり、12月12日から16日まで数理解析研究所において複素力学系の国際研究集会を開催する予定であり、今年度も数多くの海外の研究者を招聘するよていである。
また、代表者および分担者も国際研究集会に出席し、研究の発表・情報交換を行う予定である。
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